Aiuto nel calcolo del limite per x tendente ad infinito.
Ciao a tutti ho un limite che mi sta cavando la vita e che non riesco a risolvere. Potreste aiutarmi? ho provato di tutto ma non ne vado fuori:
$\lim_{n \to \+infty} (e - (1+1/x)^x)/(sin(1/x))$
Le ho provate tutte ma non riesco a risolverlo...
scusate ma la formula meglio di così non sono capace a scriverla...
EDIT: sono riuscito a scriverla in modo decente, è un limite all'infinito. Purtroppo sto avendo alcune difficoltà sui limiti all'infinito quelli a zero (mac laurin taylor e compagnia bella) mi riescono con relativa facilità invece.
$\lim_{n \to \+infty} (e - (1+1/x)^x)/(sin(1/x))$
Le ho provate tutte ma non riesco a risolverlo...
scusate ma la formula meglio di così non sono capace a scriverla...
EDIT: sono riuscito a scriverla in modo decente, è un limite all'infinito. Purtroppo sto avendo alcune difficoltà sui limiti all'infinito quelli a zero (mac laurin taylor e compagnia bella) mi riescono con relativa facilità invece.
Risposte
bè se quelli a zero li sai fare perché non poni $y=1/x$?
CHE PIRLA! Hai ragione!
Comunque non mi è molto chiaro come argomento il limite all'infinito ad esempio:
$\lim {\x \to +oo} ((x+(x^3-1)^(1/3))^3+sinx)/(x^3+lgx+cosx)$
So che il risultato è 8 e mi esce giusto, però sono andato molto ad intuito nel senso:
denominatore, P.d.S. ho tralasciato sia il log che il cos, perchè entrambi infiniti di ordine minore di x^3, a posteriori però mi sto domandando:
A: il $cos(x)$ per $x->oo$ ovviamente non esiste. Questo mi comporta qualcosa? oppure non esiste = non ne tengo conto?
B: $log x + cos x$, singolarmente sono di ordine minore di $x^3$, devo guardarli come somma però? anche se so che il log x è il più piccolo sempre e quindi ad intuito mi verrebbe da dire che non sono infiniti simultanei...
Numeratore, stesso problema del denominatore, io ho tenuto tutta la parentesi di destra ipotizzandola di ordine 3 > dell'ordine del seno. Ma il seno però non esiste...
Secondo problema, una volta che ho tenuto solo la parentesi di destra vado ad eseguire i conti come se fosse il cubo di un binomio mi esce una cosa del tipo:
$2x^3 + 1 +3x^2(x^3-1)^(1/3)+3x(x^3-1)^(2/3)$
ad intuito ho capito che sia $x^3$ sia $x^2(x^3-1)^(1/3)$ e sia $x(x^3-1)^(2/3)$ è come se fossero lo stesso valore, cosa che mi porta ad avere $(2 + 3 + 3) x^3$ ma non riesco a dimostrarlo!
Al denominatore ho x^3, semplifico ed ecco che mi risulta 8 come correttamente deve essere.
Bene, giusto l'ho fatto giusto. però mi piacerebbe capire perchè l'ho fatto giusto
G.
Comunque non mi è molto chiaro come argomento il limite all'infinito ad esempio:
$\lim {\x \to +oo} ((x+(x^3-1)^(1/3))^3+sinx)/(x^3+lgx+cosx)$
So che il risultato è 8 e mi esce giusto, però sono andato molto ad intuito nel senso:
denominatore, P.d.S. ho tralasciato sia il log che il cos, perchè entrambi infiniti di ordine minore di x^3, a posteriori però mi sto domandando:
A: il $cos(x)$ per $x->oo$ ovviamente non esiste. Questo mi comporta qualcosa? oppure non esiste = non ne tengo conto?
B: $log x + cos x$, singolarmente sono di ordine minore di $x^3$, devo guardarli come somma però? anche se so che il log x è il più piccolo sempre e quindi ad intuito mi verrebbe da dire che non sono infiniti simultanei...
Numeratore, stesso problema del denominatore, io ho tenuto tutta la parentesi di destra ipotizzandola di ordine 3 > dell'ordine del seno. Ma il seno però non esiste...
Secondo problema, una volta che ho tenuto solo la parentesi di destra vado ad eseguire i conti come se fosse il cubo di un binomio mi esce una cosa del tipo:
$2x^3 + 1 +3x^2(x^3-1)^(1/3)+3x(x^3-1)^(2/3)$
ad intuito ho capito che sia $x^3$ sia $x^2(x^3-1)^(1/3)$ e sia $x(x^3-1)^(2/3)$ è come se fossero lo stesso valore, cosa che mi porta ad avere $(2 + 3 + 3) x^3$ ma non riesco a dimostrarlo!
Al denominatore ho x^3, semplifico ed ecco che mi risulta 8 come correttamente deve essere.
Bene, giusto l'ho fatto giusto. però mi piacerebbe capire perchè l'ho fatto giusto
G.
aspetta coseno ad infinito "esiste" solo che è limitato tra -1 e 1 ,
sotto hai qualcosa di limitato (il coseno) che tralasci visto che hai qualcosa che tende ad infinito... ($x^3 e log$). ora il logaritmo va ad infinito molto piu lentamente di $x^3$ per questo puoi tralasciare anche il log.
sotto hai qualcosa di limitato (il coseno) che tralasci visto che hai qualcosa che tende ad infinito... ($x^3 e log$). ora il logaritmo va ad infinito molto piu lentamente di $x^3$ per questo puoi tralasciare anche il log.
ok, questo l'ho capito, grazie. E il dilemma del cubo di binomio?
EDIT:
sto lavorando sul limite oggetto della discussione, ma mi trovo bloccato di nuovo.
abbiamo che:
$\lim_{x -> +oo} (e - (1+1/x)^x)/(sin 1/x)$
sostituisco
$1/x = t, x->+oo = t->0$
ottengo:
$\lim_{t -> 0} (e - (1+t)^(1/t))/(sin t)$
lavoro quindi sul numeratore:
$e - (1+t)^(1/t) = e - e^(1/t log(1+t))$
$e - e^(1/t log(1+t))$
Vedo a quanto tende l'esponente del secondo e:
$\lim_{t->0} 1/t log(1+t) = lim_{t->0} 1/t (t-t^2/2+o(t^2)) = lim_{t->0} 1-t/2+o(t) = 1$
quindi al numeratore:
$e - e = 0$
bingo... e adesso mi sono incartato....
EDIT:
sto lavorando sul limite oggetto della discussione, ma mi trovo bloccato di nuovo.
abbiamo che:
$\lim_{x -> +oo} (e - (1+1/x)^x)/(sin 1/x)$
sostituisco
$1/x = t, x->+oo = t->0$
ottengo:
$\lim_{t -> 0} (e - (1+t)^(1/t))/(sin t)$
lavoro quindi sul numeratore:
$e - (1+t)^(1/t) = e - e^(1/t log(1+t))$
$e - e^(1/t log(1+t))$
Vedo a quanto tende l'esponente del secondo e:
$\lim_{t->0} 1/t log(1+t) = lim_{t->0} 1/t (t-t^2/2+o(t^2)) = lim_{t->0} 1-t/2+o(t) = 1$
quindi al numeratore:
$e - e = 0$
bingo... e adesso mi sono incartato....
"kevinpirola":
Secondo problema, una volta che ho tenuto solo la parentesi di destra vado ad eseguire i conti come se fosse il cubo di un binomio mi esce una cosa del tipo:
$2x^3 + 1 +3x^2(x^3-1)^(1/3)+3x(x^3-1)^(2/3)$
ad intuito ho capito che sia $x^3$ sia $x^2(x^3-1)^(1/3)$ e sia $x(x^3-1)^(2/3)$ è come se fossero lo stesso valore, cosa che mi porta ad avere $(2 + 3 + 3) x^3$ ma non riesco a dimostrarlo!
E' come se avessero lo stesso valore? Guarda che non puoi fare ragionamenti di questo genere, facendo il limite solamente di qualche pezzo di funzione.
$2x^3 + 1 +3x^2(x^3-1)^(1/3)+3x(x^3-1)^(2/3) = 2x^3 + 1 +3 x^3(1 - 1/x^3)^(1/3) + 3 x ( x^6 ( 1 - 2/x^3 + 1/x^6 ) )^(1/3) = $
$ = x^3 ( 2 + 1/x^3 + 3 (1 - 1/x^3)^(1/3) + 3 ( 1 - 2/x^3 + 1/x^6 )^(1/3) )$
Ma a questo punto non puoi scrivere che tutto questo è uguale a $8 x^3$. Nel tuo caso il risultato torna perché hai un $x^3$ a denominatore. Allora:
$lim_(x -> +oo) x^3 ( 2 + 1/x^3 + 3 (1 - 1/x^3)^(1/3) + 3 ( 1 - 2/x^3 + 1/x^6 )^(1/3) )/x^3 = lim_(x -> +oo) ( 2 + 1/x^3 + 3 (1 - 1/x^3)^(1/3) + 3 ( 1 - 2/x^3 + 1/x^6 )^(1/3) ) = 8$
Nota: Il denominatore è asintotico a $x^3$ per $x -> +oo$.
grazie, adesso ho capito, non avevo pensato di portare fuori l'x^3..
p.s. il post prima avevo fatto l'edit postando la mia idea su come risolvere il limite di cui si parlava nel primo messaggiom nel caso leggendo i successivi si fosse perso (visto che era un edit)
p.s. il post prima avevo fatto l'edit postando la mia idea su come risolvere il limite di cui si parlava nel primo messaggiom nel caso leggendo i successivi si fosse perso (visto che era un edit)
"kevinpirola":
Vedo a quanto tende l'esponente del secondo e:
$\lim_{t->0} 1/t log(1+t) = lim_{t->0} 1/t (t-t^2/2+o(t^2)) = lim_{t->0} 1-t/2+o(t) = 1$
Scusami, ma questo non è concepibile! Risolvere un limite notevole utilizzando gli sviluppi di Taylor è pazzesco.
Comunque, per prima cosa, raccogli $e$.
$e( 1 - e^(ln( 1 + t )/t - 1 ))$
Ovviamente $( 1 - e^(ln( 1 + t )/t - 1 ))$ è un infinitesimo, quindi il limite è ancora in forma indeterminata.
$lim_(t -> 0) e ( 1 - e^(ln( 1 + t )/t - 1 ))/t$
De L'Hospital: $lim_(t -> 0) - e^(ln( 1 + t )/t - 1 ) * ( t/(1+t) - ln( 1 + t ))/t^2$
$( t/(1+t) - ln( 1 + t ))/t^2 -> - 1/2$ per $t -> 0$, dunque:
$lim_(t -> 0) e ( 1 - e^(ln( 1 + t )/t - 1 ))/t = e/2$
Grazie mille Seneca, ora mi è tutto un po' più chiaro.
Se posso, continuerei a sfruttare la tua esperienza:
sul limite di:
$(t/(1+t)-ln(1+t))/(t^2)$
per capire per quale motivo fosse -1/2 ho provato a usare De l'Hopital e sono arrivato alla conclusione corretta dopo un paio di passaggi.
Non mi è chiaro però su cosa si deve basare la mia scelta se usare l'Hospital o ad esempio usare gli sviluppi di Taylor, soprattutto con gli esponenziali che derivati mi vanno quasi sempre ad aumentare il casino (visto che a quello che era il mio termine esponenziale si aggiunge la derivata dell'esponente)...
Se posso, continuerei a sfruttare la tua esperienza:
sul limite di:
$(t/(1+t)-ln(1+t))/(t^2)$
per capire per quale motivo fosse -1/2 ho provato a usare De l'Hopital e sono arrivato alla conclusione corretta dopo un paio di passaggi.
Non mi è chiaro però su cosa si deve basare la mia scelta se usare l'Hospital o ad esempio usare gli sviluppi di Taylor, soprattutto con gli esponenziali che derivati mi vanno quasi sempre ad aumentare il casino (visto che a quello che era il mio termine esponenziale si aggiunge la derivata dell'esponente)...
Eh, non è semplice rispondere. Non c'è una regola, devi avere un po' di occhio e intuire quale potrebbe essere la strada più veloce.
Tante volte è praticamente indifferente, molte altre può diventare pesantemente sconveniente preferire uno dei due metodi all'altro.
Tante volte è praticamente indifferente, molte altre può diventare pesantemente sconveniente preferire uno dei due metodi all'altro.
ti dirò, io ho usato l'hospital questa volta, ma solo perchè sapevo a che risultato volevo arrivare, avendo un 2 al denominatore (1/2) ho pensato alla derivata 2x di x^2... però ovviamente durante l'esame non avrò il punto d'arrivo....
Rieccomi, sto facendo una marea di esercizi e durante uno studio di funzione mi capita questo limite:
$\lim_{x->oo} (x+1)/((1+log(|x+1|))x)$
Che altro non è che il controllo per vedere se ci sono asintoti obliqui eseguito facendo $\lim_{x->oo} (f(x))/x$
so che $log(x+1) ~ x$, 1 sono costanti e li tralascio praticamente arrivo ad avere $x/x^2 = 0$
Il risultato so che è corretto.. ma il procedimento che ho seguito è lecito visto che il log non è solo in un prodotto bensì anche in una addizione (anche se con una costante) ?
$\lim_{x->oo} (x+1)/((1+log(|x+1|))x)$
Che altro non è che il controllo per vedere se ci sono asintoti obliqui eseguito facendo $\lim_{x->oo} (f(x))/x$
so che $log(x+1) ~ x$, 1 sono costanti e li tralascio praticamente arrivo ad avere $x/x^2 = 0$
Il risultato so che è corretto.. ma il procedimento che ho seguito è lecito visto che il log non è solo in un prodotto bensì anche in una addizione (anche se con una costante) ?
Hai sbagliato: è vero che $log( x + 1 ) sim x$ ... Ma per $x -> 0$, non per $x -> +oo$.
quindi questo limite come lo tratto? alla fine al denominatore ho un infinito ($x$) moltiplicato per un altro infinito ($log(x+1)$), mentre al numeratore ho un solo infinito.
Quindi per forza è zero, il fatto è che non credo di poter scrivere un ragionamento del genere come soluzione dell'esercizio... cioè non ho scritto nessun passaggio eppure la soluzione è evidente...
Quindi per forza è zero, il fatto è che non credo di poter scrivere un ragionamento del genere come soluzione dell'esercizio... cioè non ho scritto nessun passaggio eppure la soluzione è evidente...
Scrivilo così:
$\lim_{x->oo} (x+1)/((1+log(|x+1|))x) = \lim_{x->oo} 1/(1+log(|x+1|)) * (x + 1)/x$
$\lim_{x->oo} (x+1)/((1+log(|x+1|))x) = \lim_{x->oo} 1/(1+log(|x+1|)) * (x + 1)/x$
"Seneca":
Scrivilo così:
$\lim_{x->oo} (x+1)/((1+log(|x+1|))x) = \lim_{x->oo} 1/(1+log(|x+1|)) * (x + 1)/x$
ma posso tranquillamente? cioè non devo giustificare poi niente del fatto che porto a parte (gioco di parole) la parte di destra perchè così si "annulla" ('unuizza', tende a 1)
fatto sta che comunque grazie alle dritte che mi state dando mi sono molto più chiare molte cose e mi vengono più facili.
grassie
Il passaggio non ha nulla a che vedere con i limiti (è algebrico). $(x+1)/((1+log(|x+1|))x) = 1/(1+log(|x+1|)) * (x + 1)/x$
A questo punto il teorema sul limite del prodotto (che in questo caso vale, visto che non si presenta la forma indeterminata $[0 * oo ]$ ) ti garantisce che
$\lim_{x->oo} 1/(1+log(|x+1|)) * (x + 1)/x = \lim_{x->oo} 1/(1+log(|x+1|)) * \lim_{x->oo} (x + 1)/x = 0 * 1 = 0$
Così è tutto giustificato.
A questo punto il teorema sul limite del prodotto (che in questo caso vale, visto che non si presenta la forma indeterminata $[0 * oo ]$ ) ti garantisce che
$\lim_{x->oo} 1/(1+log(|x+1|)) * (x + 1)/x = \lim_{x->oo} 1/(1+log(|x+1|)) * \lim_{x->oo} (x + 1)/x = 0 * 1 = 0$
Così è tutto giustificato.
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