Aiuto massimi e minimi assoluti di una funzione
salve, sabato ho l'esame di matematica 2 e vorrei chiedervi come si fa questo tipo di esercizio:
TROVARE IL MASSIMO E IL MINIMO (ASSOLUTI) DELLA FUNZIONE
$f(x,y,)= arctg(3x^2+y^2-2xy-|x-2y|+1)$
NEL RETTANGOLO CHE HA VERTICI NEI PUNTI:
$ (4,2) (4,-2) (-4,-2) (-4,2) $
mi fate vedere i passaggi che devo eseguire?
TROVARE IL MASSIMO E IL MINIMO (ASSOLUTI) DELLA FUNZIONE
$f(x,y,)= arctg(3x^2+y^2-2xy-|x-2y|+1)$
NEL RETTANGOLO CHE HA VERTICI NEI PUNTI:
$ (4,2) (4,-2) (-4,-2) (-4,2) $
mi fate vedere i passaggi che devo eseguire?
Risposte
"Piera":
Devi trovare tutti i massimi e minimi della funzione $g(x,y)= 3x^2+y^2-2xy-|x-2y|+1$ nel rettangolo.
Supponi di trovare:
(0,0), (1,0), (0,1), (-1,1),
calcola $g(0,0),g(1,0),g(0,1),g(-1,1)$
il valore più grande sarà il massimo assoluto e quello più piccolo il minimo assoluto di $g(x,y)$.
Infine, per trovare il massimo e il minimo assoluti di $f(x,y)$ basta calcolare $arctg[g(x,y)]$.
grazie mille....adesso mi potresti aiutare in un altro esercizio che ho postato in un altro post. il link sta nella pagina precendente
Salve a tutti, ho questo esercizio, Determinare massimi e minimi assoluti della funzione [tex]f(x,y)=(x-1)^2-y^2[/tex] soggetta al vincolo [tex]V=(x,y) \in R^2 | x^2+y^2=1[/tex]
io ho proceduto a risloverla con i moltiplicatori di lagrange cosi[tex]L=f(x,y)+\lambda g(x,y)=(x-1)^2-y^2+ \lambda ( x^2+y^2-1)=x^2+1-2x-y^2++ \lambda[/tex]
a questo punto mi sono fatto le derivate parziali rispetto a x y e lambda
[tex]L'_x=2x-2+2 \lambda x[/tex]
[tex]L'_y=-2y+2 \lambda y[/tex]
[tex]L'_\lambda=x^2+y^2-1[/tex]
poi dovrei risolvere il sistema per trovare i valori di x y e lambda, quindi i punti di max e min assoluti, giusto?
ma non riesco
io ho proceduto a risloverla con i moltiplicatori di lagrange cosi[tex]L=f(x,y)+\lambda g(x,y)=(x-1)^2-y^2+ \lambda ( x^2+y^2-1)=x^2+1-2x-y^2++ \lambda[/tex]
a questo punto mi sono fatto le derivate parziali rispetto a x y e lambda
[tex]L'_x=2x-2+2 \lambda x[/tex]
[tex]L'_y=-2y+2 \lambda y[/tex]
[tex]L'_\lambda=x^2+y^2-1[/tex]
poi dovrei risolvere il sistema per trovare i valori di x y e lambda, quindi i punti di max e min assoluti, giusto?
ma non riesco
guarda....non so se sia giusto.....ma facendolo così su due piedi mi son venuti i seguenti punti critici:
(1,0) e (-1,0) per la condizione sulla y, e poi (1/2, $ sqrt(3) /2 $ ) e (1/2,- $ sqrt(3) /2 $ ) per quella sulla x.....se son giusti dovresti inserirli nella tua funzione e poi vedere se son max o min......è questo l'esercizio del messaggio privato?
(1,0) e (-1,0) per la condizione sulla y, e poi (1/2, $ sqrt(3) /2 $ ) e (1/2,- $ sqrt(3) /2 $ ) per quella sulla x.....se son giusti dovresti inserirli nella tua funzione e poi vedere se son max o min......è questo l'esercizio del messaggio privato?
si era questo, ma il sistema delle tre derivate parziali che ho scritto va bene?
Da quel che so dovrebbe esserci il segno meno quando moltiplichi per lambda...quindi per esempio dovrebbe essere per la x: 2x-2-2x*lambda (non so come far venir fuori la lettera lamda...scusa)......e così anche per la y......
@boanini: Potresti usare il metodo grafico con le curve di livello per interpretare ciò che viene fuori dai conti con la lagrangiana.
Il vincolo è la circonferenza [tex]$\Gamma$[/tex] di centro [tex]$(0,0)$[/tex] e raggio [tex]$1$[/tex].
Le curve di livello di [tex]$f$[/tex], ossia le curve d'equazione [tex]$f(x,y)=k$[/tex] (con [tex]$k\in \mathbb{R}$[/tex]), sono le iperboli del fascio:
[tex]$(x-1)^2-y^2=k$[/tex]
per [tex]$k\neq 0$[/tex], oppure la coppia di rette:
[tex]$(x-1+y)\ (x-1-y)=0$[/tex]
per [tex]$k=0$[/tex].
Disegnamole:
[asvg]xmin=-3; xmax=5; ymin=-4; ymax=4;
axes("","");
plot("1-x",-4,6); plot("x-1",-4,6);
stroke="red";
plot("sqrt((x-1)^2-1)",2,6); plot("sqrt((x-1)^2-1)",-3,0);plot("-sqrt((x-1)^2-1)",2,6); plot("-sqrt((x-1)^2-1)",-3,0);
plot("sqrt((x-1)^2-4)",3,6); plot("sqrt((x-1)^2-4)",-3,-1);plot("-sqrt((x-1)^2-4)",3,6); plot("-sqrt((x-1)^2-4)",-3,-1);
plot("sqrt((x-1)^2-9)",4,6); plot("sqrt((x-1)^2-9)",-3,-2);plot("-sqrt((x-1)^2-9)",4,6); plot("-sqrt((x-1)^2-9)",-3,-2);
stroke="dodgerblue";
plot("sqrt((x-1)^2+1)",-3,6); plot("-sqrt((x-1)^2+1)",-3,6);
plot("sqrt((x-1)^2+4)",-3,6); plot("-sqrt((x-1)^2+4)",-3,6);
stroke="green";
circle([0,0],1);
stroke="magenta"; marker="arrow";
arc([2,4],[5,1],3);[/asvg]
La freccia magenta indica il verso dei valori crescenti del parametro [tex]$k$[/tex]; in blu le curve di livello corrispondenti ai [tex]$k<0$[/tex], in nero le due rette corrispondenti a [tex]$k=0$[/tex] ed in rosso le curve corrispondenti ai [tex]$k>0$[/tex]; in verde il vincolo.
Si vede che esistono [tex]$k_1<0k_2$[/tex] le curve di livello non intersecano il vincolo; per [tex]$k_1
Ad occhio si vede che [tex]$k_2=2$[/tex], mentre il valore di [tex]$k_1$[/tex] si trova con un po' di conti e, se non erro, è [tex]$k_1=-\frac{1}{2}$[/tex].
I punti di tangenza con l'iperbole [tex]$(x-1)^2-y^2=k_1$[/tex] sono [tex]$(\pm \tfrac{1}{2} ,\tfrac{\sqrt{3}}{2})$[/tex] e sono di minimo assoluto; il punto di tangenza sull'iperbole [tex]$(x-1)^2-y^2=k_2$[/tex] è [tex]$(-1,0)$[/tex] ed è di massimo assoluto.
Il vincolo è la circonferenza [tex]$\Gamma$[/tex] di centro [tex]$(0,0)$[/tex] e raggio [tex]$1$[/tex].
Le curve di livello di [tex]$f$[/tex], ossia le curve d'equazione [tex]$f(x,y)=k$[/tex] (con [tex]$k\in \mathbb{R}$[/tex]), sono le iperboli del fascio:
[tex]$(x-1)^2-y^2=k$[/tex]
per [tex]$k\neq 0$[/tex], oppure la coppia di rette:
[tex]$(x-1+y)\ (x-1-y)=0$[/tex]
per [tex]$k=0$[/tex].
Disegnamole:
[asvg]xmin=-3; xmax=5; ymin=-4; ymax=4;
axes("","");
plot("1-x",-4,6); plot("x-1",-4,6);
stroke="red";
plot("sqrt((x-1)^2-1)",2,6); plot("sqrt((x-1)^2-1)",-3,0);plot("-sqrt((x-1)^2-1)",2,6); plot("-sqrt((x-1)^2-1)",-3,0);
plot("sqrt((x-1)^2-4)",3,6); plot("sqrt((x-1)^2-4)",-3,-1);plot("-sqrt((x-1)^2-4)",3,6); plot("-sqrt((x-1)^2-4)",-3,-1);
plot("sqrt((x-1)^2-9)",4,6); plot("sqrt((x-1)^2-9)",-3,-2);plot("-sqrt((x-1)^2-9)",4,6); plot("-sqrt((x-1)^2-9)",-3,-2);
stroke="dodgerblue";
plot("sqrt((x-1)^2+1)",-3,6); plot("-sqrt((x-1)^2+1)",-3,6);
plot("sqrt((x-1)^2+4)",-3,6); plot("-sqrt((x-1)^2+4)",-3,6);
stroke="green";
circle([0,0],1);
stroke="magenta"; marker="arrow";
arc([2,4],[5,1],3);[/asvg]
La freccia magenta indica il verso dei valori crescenti del parametro [tex]$k$[/tex]; in blu le curve di livello corrispondenti ai [tex]$k<0$[/tex], in nero le due rette corrispondenti a [tex]$k=0$[/tex] ed in rosso le curve corrispondenti ai [tex]$k>0$[/tex]; in verde il vincolo.
Si vede che esistono [tex]$k_1<0
Ad occhio si vede che [tex]$k_2=2$[/tex], mentre il valore di [tex]$k_1$[/tex] si trova con un po' di conti e, se non erro, è [tex]$k_1=-\frac{1}{2}$[/tex].
I punti di tangenza con l'iperbole [tex]$(x-1)^2-y^2=k_1$[/tex] sono [tex]$(\pm \tfrac{1}{2} ,\tfrac{\sqrt{3}}{2})$[/tex] e sono di minimo assoluto; il punto di tangenza sull'iperbole [tex]$(x-1)^2-y^2=k_2$[/tex] è [tex]$(-1,0)$[/tex] ed è di massimo assoluto.
grazie gugo per la esauriente risposta...ma, un metodo piu veloce per arrivare a quei due risultati?
Perche all esame avendo solo un ora di tempo e dovendo fare 11 esercizi, parte troppo tempo a fare tutto quello studio
Perche all esame avendo solo un ora di tempo e dovendo fare 11 esercizi, parte troppo tempo a fare tutto quello studio
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