Aiuto massimi e minimi assoluti di una funzione
salve, sabato ho l'esame di matematica 2 e vorrei chiedervi come si fa questo tipo di esercizio:
TROVARE IL MASSIMO E IL MINIMO (ASSOLUTI) DELLA FUNZIONE
$f(x,y,)= arctg(3x^2+y^2-2xy-|x-2y|+1)$
NEL RETTANGOLO CHE HA VERTICI NEI PUNTI:
$ (4,2) (4,-2) (-4,-2) (-4,2) $
mi fate vedere i passaggi che devo eseguire?
TROVARE IL MASSIMO E IL MINIMO (ASSOLUTI) DELLA FUNZIONE
$f(x,y,)= arctg(3x^2+y^2-2xy-|x-2y|+1)$
NEL RETTANGOLO CHE HA VERTICI NEI PUNTI:
$ (4,2) (4,-2) (-4,-2) (-4,2) $
mi fate vedere i passaggi che devo eseguire?
Risposte
La funzione è continua, il dominio è compatto, le ipotesi del Teorema di Weierstrass sono soddisfatte. Per prima cosa cerchi i punti critici, e consideri quelli appartenenti al dominio. Poi cerchi i punti di non derivabilità della funzione, se ce ne sono. Dopodiché ti restringi alla frontiera, un lato del rettangolo alla volta, e trovi i max/min della funzione in una variabile che ottieni. Ai punti che hai trovato fino ad adesso aggiungi anche i quattro vertici del rettangolo.
Fatto questo ti calcoli il valore della funzione nei punti trovati. Il valore più grande è il massimo assoluto, il valore più piccolo è il minimo assoluto.
Fatto questo ti calcoli il valore della funzione nei punti trovati. Il valore più grande è il massimo assoluto, il valore più piccolo è il minimo assoluto.
grazie di tutto...però in una spiegazione cosi...mi sono un po perso....non è che mi potresti far vedere. 
Puoi seguire punto per punto quello che ti ho detto, iniziare a fare i conti, e chiedere dove trovi difficoltà.
per prima cosa trovo i punti critici...quindi faccio la derivata rispetto a x e poi rispetto a y e metto a sistema per trovare i punti critici...ok? come faccio a vedere quale sia il dominio dell'arcotangente? e i punti di non derivabilità?
L'arcotangente è definita dove è definito il suo argomento, che in questo caso è un polinomio, dunque ovunque. Comunque, in questo caso, il dominio già c'è, ed è il rettangolo.
Intanto spezza il valore assoluto e calcola le derivate, poi si vede dove è derivabile.
Intanto spezza il valore assoluto e calcola le derivate, poi si vede dove è derivabile.
"Tipper":
L'arcotangente è definita dove è definito il suo argomento, che in questo caso è un polinomio, dunque ovunque. Comunque, in questo caso, il dominio già c'è, ed è il rettangolo.
Intanto spezza il valore assoluto e calcola le derivate, poi si vede dove è derivabile.
in che senso spezzo il valore assoluto? calcolo la derivata con il modulo positivo e poi negativo?
$|x - 2y| = \{(x - 2y, "se " x \ge 2y),(2y - x, "se " x < 2y):}$
"Tipper":
$|x - 2y| = \{(x - 2y, "se " x \ge 2y),(2y - x, "se " x < 2y):}$
ho trovato i punti:
per il modulo >0 $x=-1/4 y=-5/4$
per il modulo <0 $x=1/4 y=5/4$
sempre se non mi sono sbagliato.
poi calcolo i massimi e minimi relativi?
Come hai fatto a trovare quei punti? Io intendevo questo
$f(x,y) = \{("arctg"(3x^2 + y^2 - 2xy - x + 2y + 1), "se " x \ge 2y"," (x,y) \in A),("arctg"(3x^2 + y^2 - 2xy - 2y + x + 1), "se " x < 2y"," (x,y) \in A):}$
dove $A$ è il dominio.
$f(x,y) = \{("arctg"(3x^2 + y^2 - 2xy - x + 2y + 1), "se " x \ge 2y"," (x,y) \in A),("arctg"(3x^2 + y^2 - 2xy - 2y + x + 1), "se " x < 2y"," (x,y) \in A):}$
dove $A$ è il dominio.
"Tipper":
Come hai fatto a trovare quei punti? Io intendevo questo
$f(x,y) = \{("arctg"(3x^2 + y^2 - 2xy - x + 2y + 1), "se " x \ge 2y"," (x,y) \in A),("arctg"(3x^2 + y^2 - 2xy - 2y + x + 1), "se " x < 2y"," (x,y) \in A):}$
dove $A$ è il dominio.
per trovare i punti ho fatto le derivate parziali rispetto a x e y e poi ho messo a sistema....in questo modo ho trovato i punti critici.
Ah, erano già i punti critici. Avevo capito un'altra cosa... Scriveresti anche come ti vengono le derivate parziali? Dopo ti resta da restringere la funzione alla frontiera del dominio.
"Tipper":
Ah, erano già i punti critici. Avevo capito un'altra cosa... Scriveresti anche come ti vengono le derivate parziali? Dopo ti resta da restringere la funzione alla frontiera del dominio.
le derivate parziale vengono enormi....adesso le scrivo
per il modulo $x>=2y$
$f'x=(6·x - 2·y - 1)/(9·x^4 - 6·x^3 ·(2·y + 1) + x^2 ·(10·y^2 + 16·y + 7) - 2·x·(y^2 + 2·y + 1)·(2·y + 1) + y^4 + 4·y^3 + 6·y^2 + 4·y + 2)$
$f'y=(-2x+2y+2)/(9·x^4 - 6·x^3 ·(2·y + 1) + x^2 ·(10·y^2 + 16·y + 7) - 2·x·(2y^3 + 5·y^2+4y + 1) + y^4 + 4·y^3 + 6·y^2 + 4·y + 2)$
per il modulo $x<2y$
$f'x=(6·x - 2·y + 1)/(9·x^4 + 6·x^3 ·(-2·y + 1) + x^2 ·(10·y^2 - 16·y + 7) + 2·x·(y^2 - 2·y + 1)·(-2·y + 1) + y^4 - 4·y^3 + 6·y^2 - 4·y + 2)$
$f'y=(-2x+2y-2)/(9·x^4 + 6·x^3 ·(-2·y + 1) + x^2 ·(10·y^2 - 16·y + 7) - 2·x·(2y^3 - 5·y^2+4y - 1) + y^4 - 4·y^3 + 6·y^2 - 4·y + 2)$
dopo mi fai vedere che devo fare?
Azz... bisognerebbe vedere se la funzione è derivabile in $x = 2y$, facendo ad esempio i limiti per $(x,y) \to (2 y_0, y_0)$ delle derivate parziali ottenute per $x < 2y$ e $x > 2y$...
"Tipper":
Azz... bisognerebbe vedere se la funzione è derivabile in $x = 2y$, facendo ad esempio i limiti per $(x,y) \to (2 y_0, y_0)$ delle derivate parziali ottenute per $x < 2y$ e $x > 2y$...
così complesso è l'esercizio? pensavo fosse piu semplice...
Non mi vorrei sbagliare, se così fosse bloccatemi, ma se la funzione non fosse derivabile lungo la retta $x = 2y$, tutti i punti del tipo $(2 y_0, y_0)$ sarebbero candidati ad essere max o min assoluti, dal momento che non potrebbero essere trovati né azzerando il gradiente né studiando la funzione ristretta alla frontiera del dominio.
"Tipper":
Non mi vorrei sbagliare, se così fosse bloccatemi, ma se la funzione non fosse derivabile lungo la retta $x = 2y$, tutti i punti del tipo $(2 y_0, y_0)$ sarebbero candidati ad essere max o min assoluti, dal momento che non potrebbero essere trovati né azzerando il gradiente né studiando la funzione ristretta alla frontiera del dominio.
oddio.....
...sono nell confusione piu totale....nn sò proprio come andare avanti.
potresti aiutarmi invece inquesto esercizio? l'ho postato qui....
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=22235
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=22235
Tutte le volte che si devono trovare i punti di massimo o di minimo di una funzione del tipo $y=arctg[g(x)]$, si può studiare $g(x)$ dato che la funzione $y=arctgx$ è crescente.
Dunque per lo studio di
$f(x,y)= arctg(3x^2+y^2-2xy-|x-2y|+1)$
si può considerare quello di
$g(x,y)= 3x^2+y^2-2xy-|x-2y|+1$.
Dunque per lo studio di
$f(x,y)= arctg(3x^2+y^2-2xy-|x-2y|+1)$
si può considerare quello di
$g(x,y)= 3x^2+y^2-2xy-|x-2y|+1$.
"Piera":
Tutte le volte che si devono trovare i punti di massimo o di minimo di una funzione del tipo $y=arctg[g(x)]$, si può studiare $g(x)$ dato che la funzione $y=arctgx$ è crescente.
Dunque per lo studio di
$f(x,y)= arctg(3x^2+y^2-2xy-|x-2y|+1)$
si può considerare quello di
$g(x,y)= 3x^2+y^2-2xy-|x-2y|+1$.
ho capito....però io sono in completa confusione su quale sia il metodo per trovare i massimi e minimi assoluti....quelli relativi li sò trovare ma quelli assoluti non so proprio come si trovino.
Devi trovare tutti i massimi e minimi della funzione $g(x,y)= 3x^2+y^2-2xy-|x-2y|+1$ nel rettangolo.
Supponi di trovare:
(0,0), (1,0), (0,1), (-1,1),
calcola $g(0,0),g(1,0),g(0,1),g(-1,1)$
il valore più grande sarà il massimo assoluto e quello più piccolo il minimo assoluto di $g(x,y)$.
Infine, per trovare il massimo e il minimo assoluti di $f(x,y)$ basta calcolare $arctg[g(x,y)]$.
Supponi di trovare:
(0,0), (1,0), (0,1), (-1,1),
calcola $g(0,0),g(1,0),g(0,1),g(-1,1)$
il valore più grande sarà il massimo assoluto e quello più piccolo il minimo assoluto di $g(x,y)$.
Infine, per trovare il massimo e il minimo assoluti di $f(x,y)$ basta calcolare $arctg[g(x,y)]$.
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