Aiuto limiti logaritmici?
Ciao a tutti ragazzi 
, avrei bisogno di una mano con questi due limiti idioti.
Ho seri problemi con esponenziali e logartimici , non avendoli mai studiati durante le superiori.
I limiti sono limiti di successioni, quindi tendono ad infinito.
$ lim_n (log^2 n + log^2 (n+1) + log^2 (n+2) .. + log^2 (n^2))/ n^2 $
$ lim_n ln n / (sqrt(n) + 1) $
Ho provato a risolvere il primo con il teorema delle medie aritmetiche di Cesaro o riportando in forma fattoriale ma.. Nulla di fatto.
Il secondo mi ha veramente disarmato per quanto idiota, non ho davvero idea di dove andare a sbattere il muso.
Ciao e grazie.
, avrei bisogno di una mano con questi due limiti idioti. Ho seri problemi con esponenziali e logartimici , non avendoli mai studiati durante le superiori.
I limiti sono limiti di successioni, quindi tendono ad infinito.
$ lim_n (log^2 n + log^2 (n+1) + log^2 (n+2) .. + log^2 (n^2))/ n^2 $
$ lim_n ln n / (sqrt(n) + 1) $
Ho provato a risolvere il primo con il teorema delle medie aritmetiche di Cesaro o riportando in forma fattoriale ma.. Nulla di fatto.
Il secondo mi ha veramente disarmato per quanto idiota, non ho davvero idea di dove andare a sbattere il muso.
Ciao e grazie.
Risposte
Entrambi i limiti tendono a 0.
Infatti puoi spezzare il primo limite nella somma dei vari limiti:
$lim_n (log^2 n + log^2 (n+1) + log^2 (n+2) .. + log^2 (n^2))/ n^2=lim_n (log^2 n)/ n^2 + lim_n (log^2 (n+1) )/ n^2+ .... + lim_n (log^2 (n^2))/ n^2$
Ora ognuno di questi limiti è 0 poichè n tende ad infinito più velocemente di $log(n)$, $log(n+1)$...$log(n^2)$.
Se non ci credi basta che applichi il teorema di De L'Hopital.
La stessa cosa vale per il 2° limite
Infatti puoi spezzare il primo limite nella somma dei vari limiti:
$lim_n (log^2 n + log^2 (n+1) + log^2 (n+2) .. + log^2 (n^2))/ n^2=lim_n (log^2 n)/ n^2 + lim_n (log^2 (n+1) )/ n^2+ .... + lim_n (log^2 (n^2))/ n^2$
Ora ognuno di questi limiti è 0 poichè n tende ad infinito più velocemente di $log(n)$, $log(n+1)$...$log(n^2)$.
Se non ci credi basta che applichi il teorema di De L'Hopital.
La stessa cosa vale per il 2° limite
Innanzitutto grazie per la mano Misanino, ma potresti spiegarmi più dettagliatamente il secondo limite escludendo l'uso di De l'Hopital?
Ed ora , scusa la bestemmia che sto per pronunciare, ma secondo il tuo ragionamento (sicuramente giusto, e confermato dal teorema delle operazioni) se considerassi:
$ lim_n n/n $
(banalmente uguale ad 1)
Potrei leggerlo come : $ lim_n (1+1_1 +1_2 +...+ 1_n)/n $
Quindi: $ lim_n 1_0 /n + 1_1 /n + ... + 1_n /n $
Applicando il teorema della somma a tutti gli addendi (ovviamente tendenti a 0).. Il limite non dovrebbe dunque tendere a 0?
Dove sbaglio?
Perdona l'ignoranza, sono davvero alle prime armi, purtroppo.
Ed ora , scusa la bestemmia che sto per pronunciare, ma secondo il tuo ragionamento (sicuramente giusto, e confermato dal teorema delle operazioni) se considerassi:
$ lim_n n/n $
(banalmente uguale ad 1)
Potrei leggerlo come : $ lim_n (1+1_1 +1_2 +...+ 1_n)/n $
Quindi: $ lim_n 1_0 /n + 1_1 /n + ... + 1_n /n $
Applicando il teorema della somma a tutti gli addendi (ovviamente tendenti a 0).. Il limite non dovrebbe dunque tendere a 0?
Dove sbaglio?
Perdona l'ignoranza, sono davvero alle prime armi, purtroppo.
Ciao io il secondo l'ho risolto applicando due volte de hopital e viene $0$
$(1/n)/(1/(2*sqrt(n)))$ = $2*sqrt(n)/n$ = $2/(2*sqrt(n))$=$0$
spero vada bene
ciao!
$(1/n)/(1/(2*sqrt(n)))$ = $2*sqrt(n)/n$ = $2/(2*sqrt(n))$=$0$
spero vada bene
ciao!
$ lim_n ln(n) / (sqrt(n) + 1) $
$ lim_(x -> +oo) ln(x)/(sqrt(x) + 1) $
Essendo il logaritmo un infinito di ordine inferiore rispetto a qualasiasi potenza reale ( quindi è $Ord( ln(x) ) < Ord ( sqrt(x) )$ ), il denominatore tende a infinito "più rapidamente" del numeratore. Il rapporto tende a $0$.
$ lim_(x -> +oo) ln(x)/(sqrt(x) + 1) = 0 => lim_n ln(n) / (sqrt(n) + 1) = 0$
E' immediato.
$ lim_(x -> +oo) ln(x)/(sqrt(x) + 1) $
Essendo il logaritmo un infinito di ordine inferiore rispetto a qualasiasi potenza reale ( quindi è $Ord( ln(x) ) < Ord ( sqrt(x) )$ ), il denominatore tende a infinito "più rapidamente" del numeratore. Il rapporto tende a $0$.
$ lim_(x -> +oo) ln(x)/(sqrt(x) + 1) = 0 => lim_n ln(n) / (sqrt(n) + 1) = 0$
E' immediato.
Ah ecco, è immediato.
Seneca, una domanda, quando si può usare de l'hopital con le successioni, dato che non si potrebbe da definizione
Come giustificare l'uso di de l'hopital?
Seneca, una domanda, quando si può usare de l'hopital con le successioni, dato che non si potrebbe da definizione
Come giustificare l'uso di de l'hopital?
"clever":
Ah ecco, è immediato.
Seneca, una domanda, quando si può usare de l'hopital con le successioni, dato che non si potrebbe da definizione
Come giustificare l'uso di de l'hopital?
In effetti non ha senso fare "la derivata di una successione".
Io avevo pensato ad un modo per applicarlo. In sostanza esiste il seguente teorema:
(*) $lim_(x -> +oo) f(x) = L => lim_(n -> +oo) f(n) = L$
(se esiste il limite per $x -> +oo$ della funzione che genera la successione, allora esiste anche il limite della successione; i due limiti coincidono)
Supponiamo che il limite $lim_n f(n)/g(n)$ si presenti in forma indeterminata $[0/0]$ o $[oo/oo]$. Allora, se le relative funzioni che generano le successioni $f(x), g(x)$ soddisfano le ipotesi del teorema di De L'Hospital:
$(f'(x))/(g'(x)) -> L => f(x)/g(x) -> L$
E quindi, per il teorema (*)
$(f'(x))/(g'(x)) -> L => f(x)/g(x) -> L => f(n)/g(n) -> L$
Tuttavia è solo una mia idea. Spero vivamente che qualcuno mi corregga se ho scritto baggianate.
@Seneca: Nessuna baggianata. In genere si condensa il tuo ragionamento con la formula
"...passando dalla variabile discreta $n$ alla variabile continua $x$ e applicando la regola di l'Hôpital ... "
Comunque, @clever: io sconsiglio di fare così. L'Hopital è proprio l'ultima spiaggia da applicare, perché è il metodo più meccanico e in genere porta anche a parecchi conti in più. Ad esempio, il secondo limite è immediato se uno usa opportunamente la teoria degli ordini di infinito (come già notato da Seneca).
P.S.: Sulla questione l'Hôpital, consiglio questo post di ViciousGoblin.
"...passando dalla variabile discreta $n$ alla variabile continua $x$ e applicando la regola di l'Hôpital ... "
Comunque, @clever: io sconsiglio di fare così. L'Hopital è proprio l'ultima spiaggia da applicare, perché è il metodo più meccanico e in genere porta anche a parecchi conti in più. Ad esempio, il secondo limite è immediato se uno usa opportunamente la teoria degli ordini di infinito (come già notato da Seneca).
P.S.: Sulla questione l'Hôpital, consiglio questo post di ViciousGoblin.
Wow, ViciousGoblin ha risposto ai miei dubbi
Grazie.
Grazie.
"misanino":
Entrambi i limiti tendono a 0.
Infatti puoi spezzare il primo limite nella somma dei vari limiti:
$lim_n (log^2 n + log^2 (n+1) + log^2 (n+2) .. + log^2 (n^2))/ n^2=lim_n (log^2 n)/ n^2 + lim_n (log^2 (n+1) )/ n^2+ .... + lim_n (log^2 (n^2))/ n^2$
Ora ognuno di questi limiti è 0 poichè n tende ad infinito più velocemente di $log(n)$, $log(n+1)$...$log(n^2)$.
"FrederichN.":
Ed ora , scusa la bestemmia che sto per pronunciare, ma secondo il tuo ragionamento (sicuramente giusto, e confermato dal teorema delle operazioni) se considerassi:
$ lim_n n/n $
(banalmente uguale ad 1)
Potrei leggerlo come : $ lim_n (1+1_1 +1_2 +...+ 1_n)/n $
Quindi: $ lim_n 1_0 /n + 1_1 /n + ... + 1_n /n $
Applicando il teorema della somma a tutti gli addendi (ovviamente tendenti a 0).. Il limite non dovrebbe dunque tendere a 0?
Dove sbaglio?
FrederichN. ha ragione: il procedimento di misanino è errato e porta ad un risultato altrettanto sbagliato.
L'inapplicabilità del teorema sul limite della somma è conseguenza del fatto che gli addendi della somma aumentano indefinitamente al crescere di [tex]$n$[/tex].
Il metodo più veloce per stabilire il limite della successione di termine generale [tex]$\frac{1}{n^2} \sum_{k=n}^{n^2} \ln^2 k$[/tex] è una semplice minorazione, che si può fare tenendo presente che per ogni [tex]$k\in \{ n,\ldots ,n^2\}$[/tex] risulta [tex]$\ln^2 n \leq \ln^2 k$[/tex]...
P.S.: al post segnalato da dissonance aggiungo questo.
"gugo82":
FrederichN. ha ragione: il procedimento di misanino è errato.
L'inapplicabilità del teorema sul limite della somma è conseguenza del fatto che gli addendi della somma aumentano indefinitamente al crescere di [tex]$n$[/tex].
Il metodo più veloce per stabilire il limite della successione di termine generale [tex]$\frac{1}{n^2} \sum_{k=n}^{n^2} \ln^2 k$[/tex] è una semplice minorazione, che si può fare tenendo presente che per ogni [tex]$k\in \{ n,\ldots ,n^2\}$[/tex] risulta [tex]$\ln^2 n \leq \ln^2 k$[/tex]...
E' vero! Non mi sono accorto che nel primo limite il numero di addendi cresceva col crescere di n.
Frederich susami! Per il 1° limite fai come dice Gugo.
Il secondo invece va bene
"Seneca":
$ lim_n ln(n) / (sqrt(n) + 1) $
$ lim_(x -> +oo) ln(x)/(sqrt(x) + 1) $
Essendo il logaritmo un infinito di ordine inferiore rispetto a qualasiasi potenza reale ( quindi è $Ord( ln(x) ) < Ord ( sqrt(x) )$ ), il denominatore tende a infinito "più rapidamente" del numeratore. Il rapporto tende a $0$.
$ lim_(x -> +oo) ln(x)/(sqrt(x) + 1) = 0 => lim_n ln(n) / (sqrt(n) + 1) = 0$
E' immediato.
Perfetto Seneca ti ringrazio, la risposta per 'infinitesimi' è quella che avrei dato intuitivamente (essendomi informato su di essI esternamente al corso di laurea) =).
Ma volendo dare una dimostrazione alternativa?
Il problema è che nel nostro corso di Analisi gli ordini di infinitesimo non sono stati formalizzati e questo mi causa una serie infinita di dubbi durante le risoluzioni.
Grazie ragazzi
"FrederichN.":
[quote="Seneca"]$ lim_n ln(n) / (sqrt(n) + 1) $
$ lim_(x -> +oo) ln(x)/(sqrt(x) + 1) $
Essendo il logaritmo un infinito di ordine inferiore rispetto a qualasiasi potenza reale ( quindi è $Ord( ln(x) ) < Ord ( sqrt(x) )$ ), il denominatore tende a infinito "più rapidamente" del numeratore. Il rapporto tende a $0$.
$ lim_(x -> +oo) ln(x)/(sqrt(x) + 1) = 0 => lim_n ln(n) / (sqrt(n) + 1) = 0$
E' immediato.
Perfetto Seneca ti ringrazio, la risposta per 'infinitesimi' è quella che avrei dato intuitivamente (essendomi informato su di essI esternamente al corso di laurea) =).
Ma volendo dare una dimostrazione alternativa?
Il problema è che nel nostro corso di Analisi gli ordini di infinitesimo non sono stati formalizzati e questo mi causa una serie infinita di dubbi durante le risoluzioni.
Grazie ragazzi
[/quote]Prima o poi dovrai studiare come si deve la teoria degli infiniti e degli infinitesimi.
Ad ogni modo, se non vuoi rifarti agli infiniti per risolvere il tuo limite, non credo tu possa prescindere da un limite notevole, che tu ben conoscerai: $lim_(x -> +oo) log(x)/x = 0$. Lo puoi applicare facendo qualche sostituzione.
Tuttavia, questo limite notevole, si dimostra con la regola di De L'Hospital. Trai da te le tue conclusioni.
Grazie mille Seneca, sei stato gentilissimo.
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