Aiuto Limiti di successioni di funzioni e Spazi di Hilbert
Domani ho l'esame orale di Analisi numerica e purtroppo sicuramente mi chiederanno le cose che ho sbagliato al compito scritto. Il problema è che non ho la più pallida idea di come si possano risolvere degli esercizi! Qualche buon anima può gentilmente aiutarmi????
gli esercizi sono questi:
Non so proprio che fare! Qualsiasi tipo di informazione è ben accetta! Grazie!
gli esercizi sono questi:
Non so proprio che fare! Qualsiasi tipo di informazione è ben accetta! Grazie!
Risposte
Studiato la teoria?
Qui servono il teorema di convergenza dominata (per il primo) ed un po' d'algebra lineare -ossia il metodo di Gram-Schmidt- (per il secondo); niente di trascendentale, insomma...
Qui servono il teorema di convergenza dominata (per il primo) ed un po' d'algebra lineare -ossia il metodo di Gram-Schmidt- (per il secondo); niente di trascendentale, insomma...
Si ho studiato la teoria (almeno per il primo esercizio) ma non riesco a trovare una serie g(x) che appartenga ad L1 che la maggiori!!!
Per il secondo esercizio ho provato a leggere sul libro del mio professore ma ci ho capito veramente poco. Visto che non è niente di trascendentale non è che magari potresti spiegarmelo? Sono alquanto disperato visto che domani ho l'orale e non so dove sbattere la testa!
Per il secondo esercizio ho provato a leggere sul libro del mio professore ma ci ho capito veramente poco. Visto che non è niente di trascendentale non è che magari potresti spiegarmelo? Sono alquanto disperato visto che domani ho l'orale e non so dove sbattere la testa!
Sono arrivato ad una possibile soluzione:
Se io prendo i vettori e1 = x e e2 = 1
questa base non è ortongonale quindi tramite il processo di gram-schmidt l'ho ortogonalizzato ed ho ottenuto i vettori
v = x
w = 1-3/2x
Ora devo normalizzarli per ottenere una base ortonormale. Divedendo per la norma ottengo che:
v1 = 3x
v2 = 4-6x
E' giusto il ragionamento? Ora da questo posso dire che la dimensione Hilbertiana di V = 2 ?
Se io prendo i vettori e1 = x e e2 = 1
questa base non è ortongonale quindi tramite il processo di gram-schmidt l'ho ortogonalizzato ed ho ottenuto i vettori
v = x
w = 1-3/2x
Ora devo normalizzarli per ottenere una base ortonormale. Divedendo per la norma ottengo che:
v1 = 3x
v2 = 4-6x
E' giusto il ragionamento? Ora da questo posso dire che la dimensione Hilbertiana di V = 2 ?
up
L'idea di usare Gram-Schmidt è buona. Se i calcoli sono fatti bene, la soluzione è quella.
Per un fatto di gusti avrei preso [tex]$e_1=1$[/tex] ed [tex]$e_2=x$[/tex], ma fa lo stesso.
Per quanto riguarda il primo, non devi determinare alcuna serie.
Per applicare Lebesgue, e quindi portare il limite sotto il segno d'integrale, ti serve sapere che esiste una funzione [tex]$\phi (x)$[/tex] maggiorante delle [tex]$f_n(x):=\frac{n\ \tan x}{1+(nx)^2}$[/tex] in [tex]$[0,1]$[/tex] che sia sommabile.
Il suggerimento che viene con la traccia è ottimo in tal senso. Infatti si vede che in [tex]$[0,1]$[/tex] la [tex]$\tan x$[/tex] è positiva, lipschitziana ed è nulla in [tex]$0$[/tex], sicché è possibile determinare [tex]$C\geq 0$[/tex] (in particolare puoi prendere [tex]$C=\max_{[0,1]} (\tan x)^\prime$[/tex]) tale che:
[tex]$\tan x=|\tan x-\tan 0|\leq C\ |x-0|=C\ x$[/tex];
da ciò segue che [tex]$f_n(x)\leq C\ \frac{nx}{1+(nx)^2} \leq C$[/tex] e la funzione costante [tex]$\phi (x)=C$[/tex] è sommabile in [tex]$[0,1]$[/tex].
Quindi ora applichi Lebesgue ed il problema si riduce a calcolare il limite puntuale della tua successione ed il suo integrale definito.
Per un fatto di gusti avrei preso [tex]$e_1=1$[/tex] ed [tex]$e_2=x$[/tex], ma fa lo stesso.
Per quanto riguarda il primo, non devi determinare alcuna serie.
Per applicare Lebesgue, e quindi portare il limite sotto il segno d'integrale, ti serve sapere che esiste una funzione [tex]$\phi (x)$[/tex] maggiorante delle [tex]$f_n(x):=\frac{n\ \tan x}{1+(nx)^2}$[/tex] in [tex]$[0,1]$[/tex] che sia sommabile.
Il suggerimento che viene con la traccia è ottimo in tal senso. Infatti si vede che in [tex]$[0,1]$[/tex] la [tex]$\tan x$[/tex] è positiva, lipschitziana ed è nulla in [tex]$0$[/tex], sicché è possibile determinare [tex]$C\geq 0$[/tex] (in particolare puoi prendere [tex]$C=\max_{[0,1]} (\tan x)^\prime$[/tex]) tale che:
[tex]$\tan x=|\tan x-\tan 0|\leq C\ |x-0|=C\ x$[/tex];
da ciò segue che [tex]$f_n(x)\leq C\ \frac{nx}{1+(nx)^2} \leq C$[/tex] e la funzione costante [tex]$\phi (x)=C$[/tex] è sommabile in [tex]$[0,1]$[/tex].
Quindi ora applichi Lebesgue ed il problema si riduce a calcolare il limite puntuale della tua successione ed il suo integrale definito.
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