Aiuto limiti
Utilizzando i teoremi di confronto, di operazione fra limiti, di prodotto di
una funzione in nitesima per una funzione limitata, di cambiamento di variabile, calcolare i
seguenti limiti:
lim (x2 + cos x)
x-->+infinito
come si svolge??
grazie
una funzione in nitesima per una funzione limitata, di cambiamento di variabile, calcolare i
seguenti limiti:
lim (x2 + cos x)
x-->+infinito
come si svolge??
grazie
Risposte
Ti consiglio di provare a scrivere le formule in maniera chiara e a questo proposito consiglio di leggere:
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
ovviamente poi saremo qui per aiutarti!
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
ovviamente poi saremo qui per aiutarti!
$\lim_{x \to \infty}(x^2+cosx) $
scusate per prima
scusate per prima
Di nulla! Il limite che proponi è palesemente $+oo$ in quanto in ogni caso:
$|lim_(x to +oo) cosx|<=1$
Domande?
$|lim_(x to +oo) cosx|<=1$
Domande?
si...vom'è il procedimento , trovo un po di difficoltà con i limiti
se me lo puoi spiegare ti ringrazio tanto
se me lo puoi spiegare ti ringrazio tanto
$\lim_{x \to \infty}(x^2+cosx)$
Di certo sappiamo che:
$\lim_{x \to \infty}x^2 = +oo$
(se non ti risulta ovvio, segui la definizione: $AAM>0,EEN_M>0: |x|>N_M Rightarrow |x^2|>M$)
Sappiamo per certo anche che:
$|\lim_{x \to \infty}cosx|<= 1 $
poichè la funzione coseno è definita su tutto $RR$ a valori nell'intervallo $[-1,1]$. Se allora osservo che il limite della somma è la somma dei limiti e che vado a sommare una funzione che al più vale $1$ con una che esplode, ottengo effettivamente un risultato che tende a esplodere, da cui il risultato:
$\lim_{x \to \infty}(x^2+cosx) = +oo$
Verifichiamolo con la definizione:
$|x^2+cosx|>M$
$|x^2+1|>|x^2+cosx|>M$
$|x^2|+1>M$
$|x|^2>M-1$
$|x|>sqrt(M-1)=N_M$
Tutto chiaro?
Di certo sappiamo che:
$\lim_{x \to \infty}x^2 = +oo$
(se non ti risulta ovvio, segui la definizione: $AAM>0,EEN_M>0: |x|>N_M Rightarrow |x^2|>M$)
Sappiamo per certo anche che:
$|\lim_{x \to \infty}cosx|<= 1 $
poichè la funzione coseno è definita su tutto $RR$ a valori nell'intervallo $[-1,1]$. Se allora osservo che il limite della somma è la somma dei limiti e che vado a sommare una funzione che al più vale $1$ con una che esplode, ottengo effettivamente un risultato che tende a esplodere, da cui il risultato:
$\lim_{x \to \infty}(x^2+cosx) = +oo$
Verifichiamolo con la definizione:
$|x^2+cosx|>M$
$|x^2+1|>|x^2+cosx|>M$
$|x^2|+1>M$
$|x|^2>M-1$
$|x|>sqrt(M-1)=N_M$
Tutto chiaro?
In pratica Lord K ti sta dicendo che, essendo il coseno una funzione limitata tra -1 e 1, sicuramente:
$cos(x) <= 1 $ e $cos(x) >= -1 $ $\forall x \in R$
Per cui hai $x^2 - 1 <= x^2 + cos(x) <= x^2 + 1$ e poiche le due funzioni ai lati vanno, per $x \rightarrow \infty$, ovviamente a $+\infty$, per il teorema del confronto (o dei carabinieri
) anche la funzione al centro va allo stesso limite.
In effetti, essendo il limite $+ \infty$, ti basterebbe mostrare che $x^2 + cos(x) >= x^2 -1$ e che la seconda va a più infinito...
$cos(x) <= 1 $ e $cos(x) >= -1 $ $\forall x \in R$
Per cui hai $x^2 - 1 <= x^2 + cos(x) <= x^2 + 1$ e poiche le due funzioni ai lati vanno, per $x \rightarrow \infty$, ovviamente a $+\infty$, per il teorema del confronto (o dei carabinieri
) anche la funzione al centro va allo stesso limite.In effetti, essendo il limite $+ \infty$, ti basterebbe mostrare che $x^2 + cos(x) >= x^2 -1$ e che la seconda va a più infinito...
grazie ora è tutto kiaro
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