Aiuto Limiti

[davidmac]

Salve ragazzi

a inizio gennaio avrò l'esame di analisi 1 per ingegneria e ho grandissimi problemi con i limiti(di successioni e di funzioni), principalmente quelli in cui non si può oppure viene chiesto di non usare Taylor o de l'Hopital.
Cerco da voi un aiuto per imparare delle linee guida per svolgerli...vi prego

[davidmac]

bah...non so che dirti...ho davanti a me la tabella dei limiti notevoli ma non trovo niente...

[Noisemaker]

se lo scrivo cosi vedi meglio?

\begin{align*}
-\left(1-\cos{\frac{1}{x}}+e^{-\frac{1}{x^2}}-1\right)
\end{align*}

[davidmac]

allora...io conosco i due limiti notevoli per $x\rightarrow$
$(1-cosx)/x^2=1/2$ e $(e^x-1)/x=1$ in questo caso dovrei fare in modo che al denominatore delle due frazioni ci sia $1/x^2$...però come faccio?

[Noisemaker]

mò devo andare... ti spollerizzo la soluzione, poi in caso fammi sapere

[size=85]

\begin{align*}
&\lim_{x\to +\infty}\frac{\cos{\frac{1}{x}}-e^{-\frac{1}{x^2}}}{\left(\sqrt {x^4-x^2}-x^2\right)\ln{\sqrt{\displaystyle\frac{x^2+2}{x^2+1}}}}=\lim_{x\to +\infty}\frac{\cos{\frac{1}{x}}+1-1-e^{-\frac{1}{x^2}}}{\left(\sqrt {x^4-x^2}-x^2\right)\ln{\sqrt{\displaystyle\frac{x^2+2}{x^2+1}}}}\\
&=\lim_{x\to +\infty}\frac{-\left(1-\cos{\frac{1}{x}}+e^{-\frac{1}{x^2}}-1\right)}{\left(\sqrt {x^4-x^2}-x^2\right)\ln{\sqrt{\displaystyle\frac{x^2+2}{x^2+1}}}} \sim\lim_{x\to +\infty}\frac{\frac{1}{2x^2}}{\left(\sqrt {x^4-x^2}-x^2\right)\left(\sqrt{\displaystyle\frac{x^2+2}{x^2+1}}-1\right)\cdot\displaystyle\frac{\sqrt {x^4-x^2}+x^2}{\sqrt {x^4-x^2}+x^2}}\\
&=\lim_{x\to +\infty}\frac{\frac{1}{2x^2}}{- \displaystyle\frac{x^2}{\sqrt {x^4-x^2}+x^2}\cdot\left(\displaystyle\frac{\sqrt{x^2+2}}{\sqrt{x^2+1}}-1\right)} =\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\frac{1}{2x^2}}{- \displaystyle\frac{x^2}{x^2\cdot\sqrt {1-\frac{1}{x^2}}+x^2}\cdot\left(\displaystyle\frac{x\cdot\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}}{x\cdot\sqrt{1 +\frac{1}{x^2}}}-1\right)}\\
&=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\frac{1}{2x^2}}{- \displaystyle\frac{1}{\sqrt {1-\frac{1}{x^2}}+1}\cdot\left(\displaystyle\frac{ \sqrt{1+\frac{2}{x^2}}}{ \sqrt{1 +\frac{1}{x^2}}}-1\right)} \\
& \text{essendo} -\frac{1}{\sqrt {1-\frac{1}{x^2}}+1}\to -\frac{1}{2} ,\quad \mbox{e} \quad (1+x)^{\alpha}-1\sim \alpha x, (x\to 0), \text{si ha}\\
&\sim\lim_{x\to +\infty}\frac{\frac{1}{2x^2}}{\displaystyle- \frac{1}{2}\cdot\left(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{x^2}+1}{\displaystyle \frac{1}{2x^2}+1}-1\right)}=\lim_{x\to +\infty}\frac{\frac{1}{2x^2}}{\displaystyle- \frac{1}{2}\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{1+2x^2}\right)} =\lim_{x\to +\infty}-2\cdot \frac{2x^2+1}{2x^2}=-2\cdot1=-2
\end{align*}

[/size]

[davidmac]

ok grazie!:) ti faccio sapere...