Aiuto Limiti
Salve ragazzi
a inizio gennaio avrò l'esame di analisi 1 per ingegneria e ho grandissimi problemi con i limiti(di successioni e di funzioni), principalmente quelli in cui non si può oppure viene chiesto di non usare Taylor o de l'Hopital.
Cerco da voi un aiuto per imparare delle linee guida per svolgerli...vi prego
a inizio gennaio avrò l'esame di analisi 1 per ingegneria e ho grandissimi problemi con i limiti(di successioni e di funzioni), principalmente quelli in cui non si può oppure viene chiesto di non usare Taylor o de l'Hopital.
Cerco da voi un aiuto per imparare delle linee guida per svolgerli...vi prego
Risposte
meglio se posti qualche esempio che ti crea difficoltà... in ogni caso, ti propongo due esercizi, provali e vedi che difficoltà ti creano
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty}\frac{n^2\left[\ln(n+\ln n)\right ]\ln(2n+1)} {(2n+3)^2 \ln^2 n}
\end{align*}
\begin{align*}
\lim_{x\to +\infty}\frac{\cos{\frac{1}{x}}-e^{-\frac{1}{x^2}}}{\left(\sqrt {x^4-x^2}-x^2\right)\ln{\sqrt{\displaystyle\frac{x^2+2}{x^2+1}}}}
\end{align*}
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty}\frac{n^2\left[\ln(n+\ln n)\right ]\ln(2n+1)} {(2n+3)^2 \ln^2 n}
\end{align*}
\begin{align*}
\lim_{x\to +\infty}\frac{\cos{\frac{1}{x}}-e^{-\frac{1}{x^2}}}{\left(\sqrt {x^4-x^2}-x^2\right)\ln{\sqrt{\displaystyle\frac{x^2+2}{x^2+1}}}}
\end{align*}
allora il primo limite lo provo a scomporre in prodotto di più limiti...quindi:
$(n/(2n+3))^2=1/4$
$ln(n+lnn)/(ln^2n)=(ln^2n+lnn)/(ln^2n)=(ln^2n)/(ln^2n)*(1+lnn/(ln^2n))=1+1/lnn=1$
per cui abbiamo $(1/4)*1*ln(2n+1)=+oo$
il secondo invece ho provato ma mi viene $ 0/0$
$(n/(2n+3))^2=1/4$
$ln(n+lnn)/(ln^2n)=(ln^2n+lnn)/(ln^2n)=(ln^2n)/(ln^2n)*(1+lnn/(ln^2n))=1+1/lnn=1$
per cui abbiamo $(1/4)*1*ln(2n+1)=+oo$
il secondo invece ho provato ma mi viene $ 0/0$
no non va bene ...
Consideriamo il numeratore:
\begin{align*}n^2\left[\ln(n+\ln n)\right ]\ln(2n+1)\end{align*}
cosa puoi dire dei vari fattori quando $n\to+\infty$?
Consideriamo il numeratore:
\begin{align*}n^2\left[\ln(n+\ln n)\right ]\ln(2n+1)\end{align*}
cosa puoi dire dei vari fattori quando $n\to+\infty$?
tendono tutti a $+oo$
si, d'accordo!
ma ad esempio nell'argomento di questo logaritmo, tra $n$ e $\ln n$ chi va all'infinito più velocemente?
\begin{align*} \ln(n+\ln n) \end{align*}
ma ad esempio nell'argomento di questo logaritmo, tra $n$ e $\ln n$ chi va all'infinito più velocemente?
\begin{align*} \ln(n+\ln n) \end{align*}
$n$, però alla fine ho sempre due termini dentro al logaritmo che vanno a $+oo$...e di questi termini vado ancora una volta a fare il logaritmo quindi il termine va a $+oo$...
si ok ma stiamo calmi! 
abbiamo allora che a numeratore possiamo approssimare con
\begin{align*}n^2\left[\ln(n+\ln n)\right ]\ln(2n+1)\sim n^2\cdot\ln n \cdot\ln 2n \end{align*}
fin qui ok?
abbiamo allora che a numeratore possiamo approssimare con
\begin{align*}n^2\left[\ln(n+\ln n)\right ]\ln(2n+1)\sim n^2\cdot\ln n \cdot\ln 2n \end{align*}
fin qui ok?
si ci sono
ora procediamo con il denominatore ed anche in questo caso cerchiamo l' infinito dominante:
\begin{align*} (2n+3)^2 \ln^2 n \end{align*}
\begin{align*} (2n+3)^2 \ln^2 n \end{align*}
allora $(2n+3)^2\sim2n^2$
$2n^2*ln^2n\sim2n^2$
$2n^2*ln^2n\sim2n^2$
più correttamente sarebbe
\begin{align*}
(2n +3)^\cdot \ln^2 n\sim 4n^2\ln^2 n
\end{align*}
quindi il limite dato risulta equivalente all'infinito a
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty}\frac{n^2\left[\ln(n+\ln n)\right ]\ln(2n+1)} {(2n+3)^2 \ln^2 n}&\sim\lim_{n\to+\infty}\frac{n^2\cdot \ln n\cdot\ln2n}{4n^2\ln^2 n}
\end{align*}
a questo punto abbiamo quasi fatto, direi ...
\begin{align*}
(2n +3)^\cdot \ln^2 n\sim 4n^2\ln^2 n
\end{align*}
quindi il limite dato risulta equivalente all'infinito a
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty}\frac{n^2\left[\ln(n+\ln n)\right ]\ln(2n+1)} {(2n+3)^2 \ln^2 n}&\sim\lim_{n\to+\infty}\frac{n^2\cdot \ln n\cdot\ln2n}{4n^2\ln^2 n}
\end{align*}
a questo punto abbiamo quasi fatto, direi ...
be in pratica semplifico $n^2$ e $lnn$ per cui diventa $1/4*(ln2n)/lnn=2$
attenzione!!
\begin{align*} \frac{\ln 2n}{\ln n} \end{align*}
sono infiniti dello stesso ordine... infatti quando $n\to+\infty$
\begin{align*} \frac{\ln 2n}{\ln n}= \frac{\ln 2+\ln n}{\ln n}=\frac{\ln 2 }{\ln n} +\frac{ \ln n}{\ln n}=0+1\end{align*}
\begin{align*} \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2\left[\ln(n+\ln n)\right ]\ln(2n+1)} {(2n+3)^2 \ln^2 n}&\sim\lim_{n\to+\infty}\frac{n^2\cdot \ln n\cdot\ln2n}{4n^2\ln^2 n}=\frac{1}{4}\cdot\ \frac{\ln 2n}{\ln n}=\frac{1}{4} \end{align*}
\begin{align*} \frac{\ln 2n}{\ln n} \end{align*}
sono infiniti dello stesso ordine... infatti quando $n\to+\infty$
\begin{align*} \frac{\ln 2n}{\ln n}= \frac{\ln 2+\ln n}{\ln n}=\frac{\ln 2 }{\ln n} +\frac{ \ln n}{\ln n}=0+1\end{align*}
\begin{align*} \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2\left[\ln(n+\ln n)\right ]\ln(2n+1)} {(2n+3)^2 \ln^2 n}&\sim\lim_{n\to+\infty}\frac{n^2\cdot \ln n\cdot\ln2n}{4n^2\ln^2 n}=\frac{1}{4}\cdot\ \frac{\ln 2n}{\ln n}=\frac{1}{4} \end{align*}
molto complesso per me questo esercizio...ilsecondo invece proprio non lo capisco...
guarda, è potenzailmete un esercizio da esame ... quindi magari guardatelo bene, poi te ne posto un altro simile, cosi puoi provare a farlo; facciamo il secondo, cominciando a considerare il numeratore: che possiamo dire?
\begin{align*} \lim_{x\to +\infty}\frac{\cos{\frac{1}{x}}-e^{-\frac{1}{x^2}}}{\left(\sqrt {x^4-x^2}-x^2\right)\ln{\sqrt{\displaystyle\frac{x^2+2}{x^2+1}}}} \end{align*}
\begin{align*} \lim_{x\to +\infty}\frac{\cos{\frac{1}{x}}-e^{-\frac{1}{x^2}}}{\left(\sqrt {x^4-x^2}-x^2\right)\ln{\sqrt{\displaystyle\frac{x^2+2}{x^2+1}}}} \end{align*}
scusa vado a mangiare..a tra un po 
nel numeratore entrambe le quantità tendono a zero, ma $e^(-1/x^2)$ lo fa più velocemente...
e no $\cos \frac{1}{x}\to 1$ quando $x\to+\infty$ ...
a si oddio scusa...avevo letto $sin$...allora quindi al numeratore abbiamo $1-1$
al denominatore sono tentato di risolvere separatamente i due termini...il primo credo faccia $-(1/2)$ il secondo però è $0$...
al denominatore sono tentato di risolvere separatamente i due termini...il primo credo faccia $-(1/2)$ il secondo però è $0$...
calma !
a numeratore, viste le osservazioni precedenti, possiamo scrivere cosi:
\begin{align*} \cos{\frac{1}{x}}-e^{-\frac{1}{x^2}} =\cos{\frac{1}{x}}-1+1-e^{-\frac{1}{x^2}} \end{align*}
e qui dovresti riconoscere dei limiti notevoli (in questo caso si che puoi sbizzarrirti ad usarli essendo la variabile in gioco $x$ continua)
a numeratore, viste le osservazioni precedenti, possiamo scrivere cosi:
\begin{align*} \cos{\frac{1}{x}}-e^{-\frac{1}{x^2}} =\cos{\frac{1}{x}}-1+1-e^{-\frac{1}{x^2}} \end{align*}
e qui dovresti riconoscere dei limiti notevoli (in questo caso si che puoi sbizzarrirti ad usarli essendo la variabile in gioco $x$ continua)
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