Aiuto limite semisemplice,forse semplicissimo:)
salve ragazzi,vi chiedo un aiutino su questo limite:
$limx->0 x^2log(1-e^x)$....il log per $ x->0$ non è definito,quindi ho pensato di fare il limite destro e sinistro di 0...solo che con 0- il log non ha valore...e con 0+ il limite è della forma indeterminata $0*-\infty $
come fare?grazie
$limx->0 x^2log(1-e^x)$....il log per $ x->0$ non è definito,quindi ho pensato di fare il limite destro e sinistro di 0...solo che con 0- il log non ha valore...e con 0+ il limite è della forma indeterminata $0*-\infty $
come fare?grazie
Risposte
"anymore87":
salve ragazzi,vi chiedo un aiutino su questo limite:
$limx->0 x^2log(1-e^x)$....il log per $ x->0$ non è definito,quindi ho pensato di fare il limite destro e sinistro di 0...solo che con 0- il log non ha valore...e con 0+ il limite è della forma indeterminata $0*-\infty $
In realtà dovresti avere $x -> 0^-$, proprio perché $1 - e^x$, al tendere di $x$ a $0^-$, ha limite $0^+$. Basta determinare il dominio per rendersene conto.
ah già...ho fatto male i conti,ma il risultato non cambia,$log( 1-e^0+)=log(1-1+)=log(0-)$ per 0+ e forma indeterminta 0*-\infty per 0-...come risolvo?
"Seneca":
[quote="anymore87"]salve ragazzi,vi chiedo un aiutino su questo limite:
$limx->0 x^2log(1-e^x)$....il log per $ x->0$ non è definito,quindi ho pensato di fare il limite destro e sinistro di 0...solo che con 0- il log non ha valore...e con 0+ il limite è della forma indeterminata $0*-\infty $
In realtà dovresti avere $x -> 0^-$, proprio perché $1 - e^x$, al tendere di $x$ a $0^-$, ha limite $0^+$. Basta determinare il dominio per rendersene conto.[/quote]
$lim_(x->0^-) x^2 log(1-e^x)$
Dunque; ti do uno spunto. Avrai capito che l'argomento del logaritmo è un infinitesimo. Poniti queste domande: "come" tende a $0$ questo infinitesimo? Con che "rapidità"?
PS - Puoi darci delle informazioni sulla tua preparazione? Che strumenti usi di solito per operare sui limiti?
l'argomento del logaritmo tende a 0 in maniera esponenziale...?! 
Non è da tanto che svolgo limiti,ne ho fatti veramente pochi...conosco de l'hospital ed il teorema del confronto(ma nn so applicarlo)
Non è da tanto che svolgo limiti,ne ho fatti veramente pochi...conosco de l'hospital ed il teorema del confronto(ma nn so applicarlo)
"anymore87":
l'argomento del logaritmo tende a 0 in maniera esponenziale...?!
Non è da tanto che svolgo limiti,ne ho fatti veramente pochi...conosco de l'hospital ed il teorema del confronto(ma nn so applicarlo)
Non hai fatto infiniti ed infinitesimi?
così così...se $x^2$ è un infinitesimo,log(0+)tende a $-\infty$ e quindi un infinito,non posso paragonare infinitesimi a infiniti o sicuramente sbaglio?...ah,grazie x la pazienza:)
Diciamo che c'è tutta una teoria (se così la vogliamo chiamare)...
Cambia variabile. $z = 1/x$
E considera che $1 - e^(x) sim -x$. Sai cosa significa?
Cambia variabile. $z = 1/x$
E considera che $1 - e^(x) sim -x$. Sai cosa significa?
$1-e^x$ equivale a x...sostituendo $z=1/x$ diventa $lim z->\infty log(1/z)/z^2)$ quindi $log1+logz/z^2$ il primo è 0 il secondo 0 perchè $z^2$ è di ordine superiore al logz....risultato 0. sento di aver sbagliato qualcosa:)
"anymore87":
$1-e^x$ equivale a x...sostituendo $z=1/x$ diventa $lim z->\infty log(1/z)/z^2)$ quindi $log1+logz/z^2$ il primo è 0 il secondo 0 perchè $z^2$ è di ordine superiore al logz....risultato 0. sento di aver sbagliato qualcosa:)
Con quel cambio di variabile hai che: $z -> -oo$, quando $x -> 0^-$
Ed hai che $log(1 - e^(x)) sim log( - 1/z )$
Poi, giustamente (attento ai segni), $log( - 1/z ) = log(1) - log(-z) = - log(-z)$
E quindi:
$lim_(z->-oo) - log(-z)/z^2 = 0$ (per il motivo che hai scritto tu alla fine).
quindi per $0^+$ vale la stessa cosa?faccio lo stesso cambio di variabile,questa volta $z->+\infty$ e il risultato sarà sempre 0,quindi il limite per $x->0$ è in definitiva 0. Ho concluso bene? grazie ancora x l'aiuto
"anymore87":
quindi per $0^+$ vale la stessa cosa?faccio lo stesso cambio di variabile,questa volta $z->+\infty$ e il risultato sarà sempre 0,quindi il limite per $x->0$ è in definitiva 0. Ho concluso bene? grazie ancora x l'aiuto
$0^+$ (anche se questa scrittura è simbolica) non è un punto di accumulazione. Infatti, esiste un intorno DESTRO del punto $0$ (*) in cui non cadono punti del dominio. Quindi non ha senso calcolare il limite per $x -> 0^+$.
Il che ci riporta alla considerazione che avevo fatto all'inizio:
"Seneca":
In realtà dovresti avere $x -> 0^-$, proprio perché $1 - e^x$, al tendere di $x$ a $0^-$, ha limite $0^+$. Basta determinare il dominio per rendersene conto.
* (del tipo $] 0, delta [$ )
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