Aiuto limite con stime asintotiche
Buongiorno, io ho questo limite che da un po' mi tormenta, ne ho svolti di simili ma su questo ho sempre avuto dubbi ed era in una prova dello scorso gennaio, quindi se mi capita qualcosa di simile vorrei saper come gestirmi.
Il limite e' questo, Wolfram dice che il risultato dovrebbe essere 1/2
1) ho capito che $ ln(n+3/n) $ puo' essere $ ln(n/n+3/n) $ quindi $ ln(1+3/n) $ che e' equivalente a $ 3/n $ per la proprieta $ ln(1+f(x)) $ con $ x->0 $ e' equivalente a $ f(x) $
2) $ (4^sin(4/n^3) -1 )$ ~ $ ln(4)sin(4/n^3) $ che a sua volta puo' essere $ ln(4)(4/n^3) $ perche' $ sin(f(x)) $ ~ $ f(x) $ quando $ x -> 0 $
3) $ log4(1+3/n^2) $ ~ $ 3/ln(4)*n^2 $
ma poi mi rimane $ ((4+(8/n^4))^(1/2) - 2) $ che se fosse $ ((4+(8/n^4))^(1/2) - 1) $ sarebbe ~ a $ 1/2*(8/n^4) $ , ma non lo e' quindi non so come procedere e mi viene sempre 0/0.
Grazie
Il limite e' questo, Wolfram dice che il risultato dovrebbe essere 1/2
1) ho capito che $ ln(n+3/n) $ puo' essere $ ln(n/n+3/n) $ quindi $ ln(1+3/n) $ che e' equivalente a $ 3/n $ per la proprieta $ ln(1+f(x)) $ con $ x->0 $ e' equivalente a $ f(x) $
2) $ (4^sin(4/n^3) -1 )$ ~ $ ln(4)sin(4/n^3) $ che a sua volta puo' essere $ ln(4)(4/n^3) $ perche' $ sin(f(x)) $ ~ $ f(x) $ quando $ x -> 0 $
3) $ log4(1+3/n^2) $ ~ $ 3/ln(4)*n^2 $
ma poi mi rimane $ ((4+(8/n^4))^(1/2) - 2) $ che se fosse $ ((4+(8/n^4))^(1/2) - 1) $ sarebbe ~ a $ 1/2*(8/n^4) $ , ma non lo e' quindi non so come procedere e mi viene sempre 0/0.
Grazie
Risposte
$4+8/n^4=4(1+2/n^4)$.
Per i prossimi messaggi cerca di non postare foto e scrivere le formule come spiegato qui, il risultato è molto più leggibile.
Per i prossimi messaggi cerca di non postare foto e scrivere le formule come spiegato qui, il risultato è molto più leggibile.
Si pero' sara' comunque $ (4(1+2/n^4))^(1/2)-2 $ non $ (4(1+2/n^4))^(1/2) - 1 $ quindi non posso usare le stime asintotiche no ?
Vorrei usare $ (1+f(x))^c -1 $ ~ $ cf(x) $
Vorrei usare $ (1+f(x))^c -1 $ ~ $ cf(x) $
Raccogli il $2$.
Giusto, quindi avendo $ 4(1+2/n^4) $ sotto la radice, tirando fuori il 4 avro' $ 2((1+2/n^4)^(1/2)-1) $ , quindi $ 2 * 1/2*(2/n^4) = 2/n^4 $ ?
il limite quindi sara' $ lim n->∞ ((2/n^4) * (3/n)) / ((ln(4)*4/n^3) * (3/n^(2)*ln(4))) $ ma ora mi viene comunque 0 , faccio l'hopital ?
ho provato a semplificare ma mi viene $ 1/2 * ln^2(4) $
il limite quindi sara' $ lim n->∞ ((2/n^4) * (3/n)) / ((ln(4)*4/n^3) * (3/n^(2)*ln(4))) $ ma ora mi viene comunque 0 , faccio l'hopital ?
ho provato a semplificare ma mi viene $ 1/2 * ln^2(4) $
Uno dei due logaritmi dovrebbe venirti a denominatore.
"otta96":
Uno dei due logaritmi dovrebbe venirti a denominatore.
Risolto, praticamente ho scritto
$ lim n->∞ ((2/n^4) * (3/n)) / ((ln(4)*4/n^3) * (3/n^(2)*ln(4))) $
al posto di
$ lim n->∞ ((2/n^4) * (3/n)) / (((ln(4)*4)/n^3) * (3/(n^(2)*ln(4)))) $
ora mi viene $ (6/n^5) / (12 / n^5) $ quindi $ 1/2 $
Grazie mille
Bene 
Purtroppo ho incontrato un'altro che sembra ancora piu' tosto
$ lim x to 0 ((1+12x)^(1/3) - e^(2x)) / (arctan(2x)) $
se solo avessi $ (1+12x)^(1/3) - 1 $ potrei dire che e' ~ $ 1/3*12x = 4x $
pero' c'e $ e^(2x) $ che penso non mi dia altra possibilita` che fare le derivate ? qualche parere ?
$ lim x to 0 ((1+12x)^(1/3) - e^(2x)) / (arctan(2x)) $
se solo avessi $ (1+12x)^(1/3) - 1 $ potrei dire che e' ~ $ 1/3*12x = 4x $
pero' c'e $ e^(2x) $ che penso non mi dia altra possibilita` che fare le derivate ? qualche parere ?
Ma scusa, vuoi il $-1$? Metticelo!
"otta96":
Ma scusa, vuoi il $-1$? Metticelo!
In che senso ? Riesci a spiegare ? Su Wolfram il risultato e' tipo 4 pagine di derivate e moltiplicazioni, puo' essere cosi semplice aggiungere un $ -1 $ ?
Aggiungo $ -1 + 1 $ ? e poi metto quella radice $ -1 + 1 - e^(2x) $
Non riesco a capire.
Lascia stare wolframalpha , aggiungi e sottrai $1$ a numeratore.
"otta96":
Lascia stare wolframalpha , aggiungi e sottrai $1$ a numeratore.
Ok ho fatto cosi :
$ lim x to 0 ((1+12x)^(1/3) - e^(2x)) / (arctan(2x)) $
Numeratore: $ (1+12x)^(1/3) - 1 + 1 - e^(2x) => (1/3)*(12x)+(1-e^(2x)) => 4x-(e^(2x)-1) => 4x-2x = 2x $
Denominatore $ arctan(2x) -> arctan(f(x)) $ ~ $ f(x) -> arctan(2x) $ ~ $ 2x $
quindi
$ lim x ->0 ((2x) / (2x)) = 2/2 = 1 $ (L'Hopital)
Non mi viene da credere quanto semplificano il problema le stime asintotiche...
Visto? Non era così difficile
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo