Aiuto limite con asintotici
Salve ragazzi in un esercizio ho il seguente limite:
lim per x che tende a -infinito di (x^-8)/log(1+e^(4x)) (scusate l'impaginazione dell'esercizio).
Il testo mi dice: "Ricordando che, per t che tende a 0, log(1+t) equivale a t e, ponendo t=e^4x per x che tende a -infinito si ottiene:
lim per x che tende a -infinito di e^-(4x)/x^8.
Io non ho capito se devo effettuare una sostituzione o procedere con la sostituzione asintotica però x tende a meno infinito.
Mi potreste aiutare?
lim per x che tende a -infinito di (x^-8)/log(1+e^(4x)) (scusate l'impaginazione dell'esercizio).
Il testo mi dice: "Ricordando che, per t che tende a 0, log(1+t) equivale a t e, ponendo t=e^4x per x che tende a -infinito si ottiene:
lim per x che tende a -infinito di e^-(4x)/x^8.
Io non ho capito se devo effettuare una sostituzione o procedere con la sostituzione asintotica però x tende a meno infinito.
Mi potreste aiutare?
Risposte
Quando $x->-oo$, $t->0$ perché $t=e^(4x)=e^(-oo)=1/e^(+oo)=1/oo=0$
Quindi devi sostituire la variabile e studiare il limite in $t$, non più in $x$:
$lim_(t->0)((1/4logt)^(-8))/(log(1+t))$
Dovresti essere in grado di continuare adesso...
Quindi devi sostituire la variabile e studiare il limite in $t$, non più in $x$:
$lim_(t->0)((1/4logt)^(-8))/(log(1+t))$
Dovresti essere in grado di continuare adesso...
Ho capito da dove viene t che tende a 0 però non mi è chiaro come si passa da limt→0(14logt)−8log(1+t) al lim per x che tende a -infinito di e^-(4x)/x^8
$t=e^(4x)$
$logt=loge^(4x)$
$logt=4x$
$x=1/4logt$
$logt=loge^(4x)$
$logt=4x$
$x=1/4logt$
Ok ci sono. Quindi una volta che ho il limite espresso in t devo sostituire con l'equivalenza in x. Giusto? Grazie mille davvero.
Si, devi cercare di "aggiustarti" la variabile come meglio puoi per avvicinarti a qualche limite notevole e risolverlo. Ovviamente se cambi la variabile della funzione di cui vuoi calcolare il limite, devi cambiare anche la variabile che "tende a"...
Scusa, ma se riscrivo il limite come $lim_(x->+infty) x^8/log(1+1/e^(4x))$, ed essendo $log(1+1/e^(4x))$ asintotico ad $1/e^(4x)$, sostituendo ho $lim_(x->+infty)x^8/(1/e^(4x))$ $=lim_(x->+infty)x^8xxe^(4x)=+infty$, va bene?
non hai sostituito bene... hai cambiato il segno all'esponente del numeratore, ma devi cambiare il segno di $x$!
Ciao io continuo a non capire se una volta trovato il limite in funzione della variabile t è necessario sostituire per tornare al limite in x. Non basterebbe calcolarmi il limite in funzione di t? Grazie.
Si, non è necessario sostituire!
Grazie davvero tantissimo per la risposta. Perché allora il libro lo riporta in x, per chiarezza?
"MrMojoRisin89":
non hai sostituito bene... hai cambiato il segno all'esponente del numeratore, ma devi cambiare il segno di $ x $!
Scusa ma non capisco dove sbaglio?
"mrchow":
Grazie davvero tantissimo per la risposta. Perché allora il libro lo riporta in x, per chiarezza?
E di che...
Probabilmente per "completezza", visto che la domanda ti viene posta in $x$.
A questo punto, se il professore è pignolo, dopo aver trovato la soluzione in $t$, riscriviti il limite iniziale in $x$ e dagli il risultato trovato.
La variabile la puoi chiamare pure "patate" o "banane" (a seconda dei gusti
), basta che arrivi alla soluzione!"francicko":
[quote="MrMojoRisin89"]non hai sostituito bene... hai cambiato il segno all'esponente del numeratore, ma devi cambiare il segno di $ x $!
Scusa ma non capisco dove sbaglio?[/quote]
Hai portato $x$ a $+oo$, e hai cambiato di segno alle $x$ nel limite, ma al numeratore hai invertito il segno dell'esponente, che non dipende da $x$.
Dovrebbe venire $-x^-8$, non $x^(+8)$. Ci sei?
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