Aiuto limite

[cecca1]

Salve
avrei bisogno di un aiuto per calcolare questo limite:
$\lim_{x \to \0}(cos(2x))^(ln(x+1)/(x^2senx))$

il programma che uso mi fornisce il valore: $1/e^2$
ma non riesco a capire ne trovare il modo per raggiungere questo valore.

spero che possiate aiutarmi e magari spiegarmi qualche passaggio.
Grazie mille.

[giuscri]

Fai uso del polinomio di Taylor, vero? Altrimenti il mio suggerimento non ti sarà forse di grande aiuto. L'esercizio, per la mia poca esperienza, mi sembra abbastanza standard quindi ti consiglio di non dimenticarlo.

Io per risolverlo ho usato una nota proprietà dei logaritmi, cioé

$log_a b^2 = 2 * log_a b$

e il fatto che

$a^(log_a b) = b$.

Ricordàti questi due fatti, la strada è tutta in discesa perché puoi scrivere

$e^((ln(x+1)/(x^2 * sinx)) (ln cos(2x)))$

e da quì andare avanti come "sempre".

Che dici?

[cecca1]

Fantastico!!!!
Grazie mille per la tempestiva risposta!
non ci avevo pensato di usare la proprietà dei logaritmi.
se al posto di taylor uso le stime asintotiche potrebbe andare bene?
c'ho provato e ho ottenuto lo stesso risultato.
Ho posto cosi:
il primo esponente è uguale a $1/x^2$
mentre nel secondo ho messo: $cos(2x)\sim 1-(4x^2)/2$ poi il logaritmo di questo risultato è: $ln(1-2x^2)\sim -2x^2$
ottenendo lo stesso risultato.
questo procedimento può andare bene? oppure sto violando qualche proprietà?
Grazie

[21zuclo]

"cecca":
se al posto di taylor uso le stime asintotiche potrebbe andare bene?

io consiglio (e come mi ha consigliato il mio esercitatore di analisi 1) di usare prima gli sviluppi e poi l'asintotico.

Perchè con l'asintotico puoi perdere informazioni, e l'asintotico è al primo ordine, per cui per sicurezza usa prima gli sviluppi di taylor-mclaurin e poi l'asintotico

per esempio se usi l'asintotico qui è sbagliato:

per $x\rightarrow 0$

\[\displaystyle \ln(1+3x)-3\sin x \sim 3x-3x=0 \]

è sbagliato. Hai perso informazioni!

[cecca1]

hai perfettamente ragione.
Ma ho letto in un eserciziario che l'asintotico è preferibile quando si ha il prodotto(come nel mio caso) mentre quando si ha somma e differenze si utilizza taylor, in quanto, come dici te, si perdono informazioni.
Oltretutto, usare taylor nei prodotti diventa una cosa molto laboriosa perché il grado delle variabili aumenta e anche il numero di termini aumenta.
Comunque ci sono casi e casi.
Grazie per l'aiuto.

[giuscri]

"cecca":se al posto di taylor uso le stime asintotiche potrebbe andare bene?
c'ho provato e ho ottenuto lo stesso risultato

EDIT: ops, non ho fatto in tempo a vedere la risposta dell'utente sopra di me, chiedo venia. Aggiungo qualcosa alla fine del post comunque.

In questo caso sì, perché per definitizione $f(x)$ e $g(x)$ sono asintotici in un certo intorno di $a$ se per $x->a$ hai

$f(x) / g(x) = 1$.[/list:u:2y768y4u]

Allora


$x + o(x) \sim x$[/list:u:2y768y4u]

dato che


$(x + o(x)) / x = x/x + (o(x)) / x = 1$[/list:u:2y768y4u]


i.e $x + o(x) \sim x$[/list:u:2y768y4u]

dato che sempre via definizione


$((o(x)) / x) -> 0$[/list:u:2y768y4u]

In generale però, e specialmente durante lo svolgimento di un esercizio all'esame -dove il professore può volerti "fregare"- ti sconsiglio, se non hai l'occhio un pelo allenato, di usare la "stima asintotica".

Esempio "tipico": in un intorno di $0$ hai a che fare con seguente funzione:


$e^(x^2 - x)$.[/list:u:2y768y4u]

Ora, scrivere che


$e^(x^2 - x) \sim 1 + x^2 - x$[/list:u:2y768y4u]

è un errore!

Implicitamente stai scrivendo


$e^(x^2 - x) = 1+ x^2 -x + o(x^2)$[/list:u:2y768y4u]

quando questo non è vero visto che, se ricordi com'è definito il polinomio di Taylor, il coefficiente di $x^2$ dev'essere la derivata seconda di $x^2 - x$ valutata in $0$ e divisa per $2!$ -e calcolando le prime due derivate questo non torna.

Dovresti sviluppare, invece, un po' di più -fino a che smetti di trovare nuovi $x^2$:


$e^(x^2 - x) = 1 + x^2 - x + 1/(2!) * (x^2 - x)^2 + o(x^2) = 1 + x^2 - x + 1/2 * (x^4 + x^2 - 2x^3) + o(x^2) =$[/list:u:2y768y4u]


$= 1 + x^2 -x + 1/2 (x^2) + o(x^2) = 1 + 3/2 * x^2 - x + o(x^2)$.[/list:u:2y768y4u]

Allora scriverai:


$e^(x^2 - x) \sim 1 + 3/2 * x^2 - x$[/list:u:2y768y4u]

che facendo due derivate torna.

Probabilmente sono stato poco chiaro; in questo caso, dimmelo.

***

EDIT: la questione dell'asintotico che va bene per le somme è una questione che prenderei con le pinze. Piuttosto, se usi gli asintotici e ottieni che la differenza fra due funzioni che in partenza erano diverse fra loro ti da $0$ significa che ci sono infinitesimi di ordine più piccolo che non hai considerato. Pensa all'esempio seguente, sulla falsariga dell'altro:

$e^(x^2 - x) + ln(1 - x^2 + x) \sim 1 + 3/2 * x^2 - x - x^2 + x$

è nuovamente errato! Quì per l'esponenziale ho usato uno sviluppo al secondo ordine, mentre per il logaritmo una "stima asintotica". Il risultato non è zero, ma è comunque sbagliato.

Quello giusto sarebbe

$e^(x^2 - x) + ln(1 - x^2 + x) \sim 1 - 2x $

e come vedi, non ho ottenuto $0$. Quindi, sta' attenta.