Aiuto Limite

[rokk911]

Non riesco a risolvere questo limite : $\lim_{x \to \+infty}\sqrt{(x^2-10|x|+8)}-(x-3)$ chi mi aiuta?

[21zuclo]

idee tue? Ci vuole qualche tua idea..giusta o sbagliata!..

però un consiglio te lo do..raccogli il termine dominante..non dico altro..

ci vogliono idee tue.

[Obidream]

Inoltre, per $x->+infty$ abbiamo valori di x positivi quindi puoi togliere quel valore assoluto e calcolare il limite..

[rokk911]

io ho provato a fare cosi $\sqrt(x^2(1-(10/x)+(8/x^2)))$-(x-3) = lim |x|-x+3 = lim x-x+3= 3 ma il risultato dovrebbe essere -2

[Studente Anonimo]

Prova a moltiplicare e dividere numeratore e denominatore per $sqrt(x^2-10|x|+8)+(x-3)$.

[21zuclo]

"rokk91":io ho provato a fare cosi $\sqrt(x^2(1-(10/x)+(8/x^2)))$-(x-3) = lim |x|-x+3 = lim x-x+3= 3 ma il risultato dovrebbe essere -2

allora io farei così
$\lim_{x\rightarrow +\infty} |x|sqrt(1-(10)/(x)+(8)/(x^2))-(x-3)$

dentro la radice hai 2 cose che vanno a zero. quindi quando vai all'infinito $(1)/(x^2)=o(1/x)$ per $x\rightarrow +\infty$ (prova a verificare e il loro rapporto è 0)

quindi il tuo limite è uguale a $|x|(1-(10)/(x)+o(1/x))^{1/2}-(x-3)\sim |x|(1-5/x)-(x-3)=|x|-5\cdot (|x|)/(x)-x+3=$

(siccome $x\rightarrow +\infty$) $=x-5-x+3=-2$ per $x\rightarrow +\infty$

[rokk911]

non ho capito cosa significa o(1/x)

[21zuclo]

è "o-piccolo".. sono i simboli di Landau, e sono: "o-piccolo" $o(\cdot)$; "O-grande" $O(\cdot)$; "asintotico" $\sim$ (questi sono quelli più usati in matematica)

$f(x)=o(g(x)) \Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow x_0} (f(x))/(g(x))=0$

se va sul tuo testo di Analisi 1, forse non li richiama sotto "Simboli di Landau".. ma forse sotto il nome di "o-piccolo".. di solito si trovano quando devi confrontare infinitesimi!..

oppure leggiti questo http://www.matematicamente.it/forum/i-simboli-di-landau-t66257.html

[Plepp]

"rokk91":Non riesco a risolvere questo limite : $\lim_{x \to \+infty}\sqrt{(x^2-10|x|+8)}-(x-3)$ chi mi aiuta?

Ciao Combà Preferisco risponderti qui anzichè in cucina Possiamo risolverlo anche senza simboli di Landau.
\[\lim |x|\sqrt{1-\frac{10}{x}+\frac{8}{x^2} }-(x-3)\]
Aggiungiamo e togliamo $1$
\[\lim |x|\left(\sqrt{1-\frac{10}{x}+\frac{8}{x^2} }+1-1\right)-(x-3)\]
Ora ricordiamo questo limite notevole
\[\lim_{f(x)\to 0} \dfrac{(1+f(x))^\alpha -1}{f(x)}=\alpha\]
che in altre parole ci dice che
\[(1+f(x))^\alpha -1\sim \alpha f(x)\qquad\text{se}\ f(x)\to 0\]
Nel nostro caso $f(x)$ sarebbe $-10/x+8/x^2$ e $\alpha=1/2$, quindi
\[\lim |x|\left(\sqrt{1-\frac{10}{x}+\frac{8}{x^2} }+1-1\right)-(x-3)=\lim |x|\left( -\dfrac{1}{2}\dfrac{10}{x}+\dfrac{1}{2}\dfrac{8}{x^2}+1\right)-(x-3)\]
e ancora
\[\lim - 5\dfrac{|x|}{x} +\dfrac{4|x|}{x^2}+|x|-x+3= -2\]

Buonanotte

[Plepp]

"Obidream":Inoltre, per $x->+infty$ abbiamo valori di x positivi quindi puoi togliere quel valore assoluto e calcolare il limite..

Obi fare questa operazione senza "criterio" porta a cose del genere:

"rokk91":$\sqrt(x^2(1-(10/x)+(8/x^2)))$-(x-3) = lim |x|-x+3 = lim x-x+3= 3

Quindi, quando non è indispensabile, è meglio evitare...

[Obidream]

Giusto, però a me era venuto comunque $-2$