Aiuto limite
Come si calcola $lim_(x->1^(-))$ $(-x^2/(x-1))*e^((2-x)/(x-1))$? Non ci riesco, sia con de l'hopital, sia senza de l'hopital ho sempre una forma indeterminata.
Risposte
L'esponenziale tende a zero più
velocemente della altra funzione :
$lim_(x\to1-) e^((2-x)/(x-1))/(-(x-1)/x^2)=0$.
Poi, in generale: se applicando deL'Hospital hai
ancora una forma indeterminata, prova ad applicarlo ancora!
velocemente della altra funzione :
$lim_(x\to1-) e^((2-x)/(x-1))/(-(x-1)/x^2)=0$.
Poi, in generale: se applicando deL'Hospital hai
ancora una forma indeterminata, prova ad applicarlo ancora!
"orazioster":... applicare un'altra tecnica e a lasciare in pace il caro De l'Hôpital.
Poi, in generale: se applicando deL'Hospital hai
ancora una forma indeterminata, prova ad [...]
Ci sono tante tecniche, per forza quella devi usare?
-tra l'altro si studiano i limiti PRIMA delle
derivate, e quindi si suppone si sappiano
trattare SENZA De l'Hospital
-anche se, non c'è neppure una ragione
per NON usarlo affatto!
derivate, e quindi si suppone si sappiano
trattare SENZA De l'Hospital
-anche se, non c'è neppure una ragione
per NON usarlo affatto!
"orazioster":
-tra l'altro si studiano i limiti PRIMA delle
derivate, e quindi si suppone si sappiano
trattare SENZA De l'Hospital
-anche se, non c'è neppure una ragione
per NON usarlo affatto!
C'è: buona parte dei docenti di Analisi lo odiano, in quanto per usarlo prima dovresti dimostrare che le funzioni soddisfano le ipotesi.... ed è una rottura!
Sulla questione l'Hôpital, a parte il fatto che dice ciampax , mi piace molto questo intervento di ViciousGoblin:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#320250
, mi piace molto questo intervento di ViciousGoblin:https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#320250
Ma guardate, basta null'altro che un semplice passaggio algebrico ed un mezzo cambiamento di variabili.
Infatti:
[tex]$-\frac{x^2}{x-1}\ e^{\frac{2-x}{x-1}} = -\frac{x^2}{x-1}\ e^{-1+\frac{1}{x-1}} = -\frac{x^2}{e}\ \frac{1}{x-1}\ e^{\frac{1}{x-1}}$[/tex];
ed:
[tex]$\lim_{x\to 1^-} \frac{x^2}{e} =-\frac{1}{e}$[/tex], [tex]$\lim_{x\to 1^-} \frac{1}{x-1}\ e^{\frac{1}{x-1}} \stackrel{y=\frac{1}{x-1}}{=}\lim_{y\to -\infty} y\ e^y =0$[/tex]...
Infatti:
[tex]$-\frac{x^2}{x-1}\ e^{\frac{2-x}{x-1}} = -\frac{x^2}{x-1}\ e^{-1+\frac{1}{x-1}} = -\frac{x^2}{e}\ \frac{1}{x-1}\ e^{\frac{1}{x-1}}$[/tex];
ed:
[tex]$\lim_{x\to 1^-} \frac{x^2}{e} =-\frac{1}{e}$[/tex], [tex]$\lim_{x\to 1^-} \frac{1}{x-1}\ e^{\frac{1}{x-1}} \stackrel{y=\frac{1}{x-1}}{=}\lim_{y\to -\infty} y\ e^y =0$[/tex]...
Inerente a questo discorso mi è piaciuto il commento dell'autore di un testo di Analisi 1 che possiedo:
L'esperienza mostra che la regola di L'Hopital riesce simpatica a molti, al punto che ci si affezionano sino a dimenticare ciò che già sanno, per applicarla in casi nei quali ciò è inutile od insensato. Ricorrere alla detta regola per determinare limiti come:
$lim_(x -> 0) sin(x^2)/x$
è indizio di tendenza all'evasione: dimenticare ciò che si è conquistato con un certo sforzo (o piuttosto dimostrare che non lo si è conquistato) per affidarsi ad una regola che non sempre facilita il problema.
OT:
Gugo, ma come ti è uscita fuori?
(Mi riferisco al link di dissonance )
"Se usi de l'Hospital ti mando all'ospedale!
Gugo, ma come ti è uscita fuori?
(Mi riferisco al link di dissonance )
Riguardo al tema "de l'Hopital sì, de l'Hopital no", sarei curioso di sapere: esiste un qualche risultato (o fatto ovvio, a seconda dei punti di vista) che affermi (o neghi) che esistono effettivamente limiti non riconducibili a limiti notevoli "classici" e risolubili solo applicando de l'Hopital?
Nelle sue applicazioni poi più teoriche (ma neanche così tanto) come per esempio nelle dimostrazioni concernenti le formule di Taylor, sarebbe possibile ottenere gli stessi risultati, anche se in modo più complicato, senza applicare il sopracitato teorema?
Nelle sue applicazioni poi più teoriche (ma neanche così tanto) come per esempio nelle dimostrazioni concernenti le formule di Taylor, sarebbe possibile ottenere gli stessi risultati, anche se in modo più complicato, senza applicare il sopracitato teorema?
"Pdirac":
Riguardo al tema "de l'Hopital sì, de l'Hopital no", sarei curioso di sapere: esiste un qualche risultato (o fatto ovvio, a seconda dei punti di vista) che affermi (o neghi) che esistono effettivamente limiti non riconducibili a limiti notevoli "classici" e risolubili solo applicando de l'Hopital?
Nelle sue applicazioni poi più teoriche (ma neanche così tanto) come per esempio nelle dimostrazioni concernenti le formule di Taylor, sarebbe possibile ottenere gli stessi risultati, anche se in modo più complicato, senza applicare il sopracitato teorema?
Ti rimando ad una discussione che avevo aperto tempo fa: http://www.matematicamente.it/forum/limiti-di-funzioni-teoria-t65450.html .
1)Grazie per il link... discussione intrigante quanto inconclusa 
, quindi approfitto per rinnovare la tua ultima domanda del post che trovo di notevole interesse:
Riprendendo invece il limite che era stato proposto da ViciousGoblin alla fine del post segnalato da Gugo, mi sono sorte delle altre domandine:
2)Partendo dal limite $lim_(x->0) (sinx-x)/(cos^2x(tanx-x))$ V. faceva giustamente notare che il $cos^2x$ tendendo a uno lo si può semplicemente "staccare" ed agli effetti pratici eliminare. Ma, formalmente, quand'è che questo passaggio è lecito (a parte il caso semi-ovvio (lo è?) di prodotto di due funzioni finite non 0, nel qual caso il prodotto dei limiti è il limite del prodotto)? Per esempio, prendo il seguente limite banale: $lim_(x->0) cosxe^x$. In questo caso per quanto detto sopra dovrei poter staccare $cosx$ ed $e^x$ considerando che semplicemente $lim_(x->0) cosx e^x = lim_(x->0) e^x = 1$; d'altra parte le due funzioni non sono identiche, e avendo ad esempio: $lim_(x->0) cosxe^x - 1$ il passaggio non è più lecito, perché approssimazione insufficiente.
3)
Sempre partendo dal suddetto limite, volendo svolgerlo considerando esclusivamente limiti notevoli e passaggi elementari, quindi senza l'utilizzo di taylor, mi sono inceppato, e ne ho trovato la ragione nel fatto che non posso usare il limite notevole $lim_(x->0) sinx/x = 1$ che di fatto corrisponde a un approssimazione di $sinx$ al primo ordine, che non è più sufficiente in questo caso. Per riuscire a ottenere un risultato dovrebbe quindi essere necessario "armarsi" di ulteriori limiti notevoli che forniscano approssimazioni più precise, il che dovrebbe essere un modo implicito per usare taylor, basandosi solo su tecniche elementari. Il primo passo dovrebbe quindi essere il dimostrare il limite $lim_(x->0) (sinx-x)/(-x^3/6) = 1$ che per taylor sappiamo essere vero. Ma è possibile dimostrarlo senza usare il suddetto (nè de l'Hopital) ?
4) Mi rendo conto che c'é forse materiale sufficiente per una nuova discussione, e non so quanto sia lecita questa mia "invasione" in questioni altrui, anche se queste dovrebbero essere praticamente chiuse. Se necessario provvedo a aprire un nuovo post =)
, quindi approfitto per rinnovare la tua ultima domanda del post che trovo di notevole interesse:"Seneca":
E' mai possibile che esista qualche limite indecidibile (prima questione che avevo posto) ? (...)
Tutti i limiti che ho visto fino ad ora, per quanto difficili possano essersi presentati, erano tutti risolubili (cambi di variabile, limiti notevoli, infinitesimi, L'Hospital, Taylor, identità trigonometriche, ecc...). Teoricamente quindi era sempre possibile (magari non facile) trovare la soluzione.
Con un abuso di terminologia per "indecidibile" intendo: "quel limite non si può calcolare; non che non esista, ma la teoria dei limiti non è sufficiente.."
Riprendendo invece il limite che era stato proposto da ViciousGoblin alla fine del post segnalato da Gugo, mi sono sorte delle altre domandine:
2)Partendo dal limite $lim_(x->0) (sinx-x)/(cos^2x(tanx-x))$ V. faceva giustamente notare che il $cos^2x$ tendendo a uno lo si può semplicemente "staccare" ed agli effetti pratici eliminare. Ma, formalmente, quand'è che questo passaggio è lecito (a parte il caso semi-ovvio (lo è?) di prodotto di due funzioni finite non 0, nel qual caso il prodotto dei limiti è il limite del prodotto)? Per esempio, prendo il seguente limite banale: $lim_(x->0) cosxe^x$. In questo caso per quanto detto sopra dovrei poter staccare $cosx$ ed $e^x$ considerando che semplicemente $lim_(x->0) cosx e^x = lim_(x->0) e^x = 1$; d'altra parte le due funzioni non sono identiche, e avendo ad esempio: $lim_(x->0) cosxe^x - 1$ il passaggio non è più lecito, perché approssimazione insufficiente.
3)
Sempre partendo dal suddetto limite, volendo svolgerlo considerando esclusivamente limiti notevoli e passaggi elementari, quindi senza l'utilizzo di taylor, mi sono inceppato, e ne ho trovato la ragione nel fatto che non posso usare il limite notevole $lim_(x->0) sinx/x = 1$ che di fatto corrisponde a un approssimazione di $sinx$ al primo ordine, che non è più sufficiente in questo caso. Per riuscire a ottenere un risultato dovrebbe quindi essere necessario "armarsi" di ulteriori limiti notevoli che forniscano approssimazioni più precise, il che dovrebbe essere un modo implicito per usare taylor, basandosi solo su tecniche elementari. Il primo passo dovrebbe quindi essere il dimostrare il limite $lim_(x->0) (sinx-x)/(-x^3/6) = 1$ che per taylor sappiamo essere vero. Ma è possibile dimostrarlo senza usare il suddetto (nè de l'Hopital) ?
4) Mi rendo conto che c'é forse materiale sufficiente per una nuova discussione, e non so quanto sia lecita questa mia "invasione" in questioni altrui, anche se queste dovrebbero essere praticamente chiuse. Se necessario provvedo a aprire un nuovo post =)
up
"Pdirac":
2) ... Ma, formalmente, quand'è che questo passaggio è lecito (a parte il caso semi-ovvio (lo è?) di prodotto di due funzioni finite non 0, nel qual caso il prodotto dei limiti è il limite del prodotto)?
Questo lo puoi fare quando non c'è una forma di indecisione "di mezzo". Mi spiego:
Il limite che proponi $lim_(x->0) cosxe^x - 1$ (se è solamente questo) si può benissimo risolvere avvalendosi del teorema sul prodotto dei limiti! (perché dici di no?)
$[ lim_(x->0) cosx ] * [ lim_(x->0) e^x ] - lim_(x->0) 1 = 1 * 1 - 1 = 0$
Chiaro è che questo non funziona per il limite:
$lim_(x->0) (4/pi * arctg(x + 1) * e^x - 1)/x$
Ma qui è tutto diverso perché hai una forma di indecisione $[0/0]$ e il passaggio $(4/pi * arctg(x + 1) * e^x - 1)/(e^x - 1) -> 1$ per $x -> 0$ è sbagliato.
Comunque sia ce ne sarebbero tanti di esempi. Non me ne è venuto in mente uno migliore, ma se vuoi proporlo...
Hai ragione, mi sono confuso considerando che le due funzioni si diversificavano dopo il secondo ordine, ma questo è ovviamente irrilevante in quanto comunque vanno a zero entrambe. Un esempio correlato sarebbe $lim_(x->0) (cosxe^x - 1 - x)/x^3$ ma ovviamente qui si ha una forma indeterminata e si rimanda a quello che hai detto tu.
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