Aiuto integrali tripli
Ciao a tutti!!
Vi chiedo gentilmente un aiuto in previsione di un esame che ho a breve.
Trovo delle difficoltà con i volumi dei solidi relativi all'applicazione degli integrali tripli.
In particolare, riesco a capire di quali superfici devo calcolare il volume, ma penso di sbagliare completamente la conversione alle coordinate cilindriche o sferiche. Per gli integrali doppi, devo dire la verità, non avevo particolari problemi.
Per gli integrali doppi, riuscivo a determinare la conversione alle coordinate polari direttamente dal disegno, ma con i tripli pare non funzionare più per quanto riguarda le cilindriche e le sferiche (probabilmente mea culpa).
Prendo per esempio un paio di esercizi, nella speranza che mi possiate dare una mano ad avviarli.
"Calcolare il volume della regione individuata da $x^2+y^2 <= z^"$ e $0 <= z <= 6-x^2-y^2$"
Ho capito che si tratta della regione compresa tra il cono di vertice nell'origine degli assi e il paraboloide di vertice $(0, 0, 6)$.
Arrivato a questo punto però mi blocco. Nel senso che io, se dovessi passare alle coordinate cilindriche farei come di seguito, ma probabilmente sbaglio qualcosa.
Il cono e il paraboloide si incontrano nel piano $z=2$ delimitando una circonferenza di equazione $x^2+y^2-4=0$.
Quindi ora ho considerato questa circonferenza come il dominio $D$ proiettato sul piano $z=0$.
In coordinate cilindriche ottengo che $0<= r <= 2$, $0<=\psi<=2\pi$ e a questo punto mi verrebbe da dire che, graficamente, $0<=z<=6$, ma mi rendo conto che otterrei un integrale triplo che ha come estremi di integrazione soltanto numeri, cosa che non mi porterebbe da nessuna parte. Anche se, ripeto, graficamente mi verrebbe da fare così.
Vi chiedo quindi una mano perchè non so veramente dove sbattere la testa, ho sprecato un'intera giornata per cercare di venirne a capo, senza alcun tipo di risultato.
Prendiamo in considerazione un altro esercizio.
"Determinare il volume del solido compreso tra la sfera $x^2+y^2+z^2=R^2$ e il cilindro $x^2+y^2-Rx=0$."
Questo mi ha dato problemi ancor più gravi dal punto di vista concettuale. Vi spiego il motivo.
Il cilindro ha centro di circonferenza di base spostato rispetto all'origine, ovvero nel punto $(R/2, 0 , 0)$.
Quindi non so proprio come dimenarmi, nel senso che passando in coordinate cilindriche, mi verrebbe da considerare come centro di suddette coordinate il punto alla base della circonferenza del cilindro.
Ottenendo così che $0<= r <= R/2$, come sempre $0<=\psi<=2\pi$, ma non so assolutamente come impostare $z$, perchè se imponessi che $0<=z<=sqrt(R^2-r^2)$, non sarebbe coerente con la scelta di origine per le coordinate cilindriche.
In altre parole, imporrei a $z$ di variare da $0$ fino a un valore che in realtà non esiste (la sfera appunto) rispetto a quella $z$.
Mi rendo conto che ho scritto tanto e forse in maniera contorta, ma per iscritto risulta difficile spiegarmi.
Spero vivamente che voi mi possiate dare una mano, perchè non so davvero dove sbattere la testa.
Vi ringrazio tutti in anticipo!
Vi chiedo gentilmente un aiuto in previsione di un esame che ho a breve.
Trovo delle difficoltà con i volumi dei solidi relativi all'applicazione degli integrali tripli.
In particolare, riesco a capire di quali superfici devo calcolare il volume, ma penso di sbagliare completamente la conversione alle coordinate cilindriche o sferiche. Per gli integrali doppi, devo dire la verità, non avevo particolari problemi.
Per gli integrali doppi, riuscivo a determinare la conversione alle coordinate polari direttamente dal disegno, ma con i tripli pare non funzionare più per quanto riguarda le cilindriche e le sferiche (probabilmente mea culpa).
Prendo per esempio un paio di esercizi, nella speranza che mi possiate dare una mano ad avviarli.
"Calcolare il volume della regione individuata da $x^2+y^2 <= z^"$ e $0 <= z <= 6-x^2-y^2$"
Ho capito che si tratta della regione compresa tra il cono di vertice nell'origine degli assi e il paraboloide di vertice $(0, 0, 6)$.
Arrivato a questo punto però mi blocco. Nel senso che io, se dovessi passare alle coordinate cilindriche farei come di seguito, ma probabilmente sbaglio qualcosa.
Il cono e il paraboloide si incontrano nel piano $z=2$ delimitando una circonferenza di equazione $x^2+y^2-4=0$.
Quindi ora ho considerato questa circonferenza come il dominio $D$ proiettato sul piano $z=0$.
In coordinate cilindriche ottengo che $0<= r <= 2$, $0<=\psi<=2\pi$ e a questo punto mi verrebbe da dire che, graficamente, $0<=z<=6$, ma mi rendo conto che otterrei un integrale triplo che ha come estremi di integrazione soltanto numeri, cosa che non mi porterebbe da nessuna parte. Anche se, ripeto, graficamente mi verrebbe da fare così.
Vi chiedo quindi una mano perchè non so veramente dove sbattere la testa, ho sprecato un'intera giornata per cercare di venirne a capo, senza alcun tipo di risultato.
Prendiamo in considerazione un altro esercizio.
"Determinare il volume del solido compreso tra la sfera $x^2+y^2+z^2=R^2$ e il cilindro $x^2+y^2-Rx=0$."
Questo mi ha dato problemi ancor più gravi dal punto di vista concettuale. Vi spiego il motivo.
Il cilindro ha centro di circonferenza di base spostato rispetto all'origine, ovvero nel punto $(R/2, 0 , 0)$.
Quindi non so proprio come dimenarmi, nel senso che passando in coordinate cilindriche, mi verrebbe da considerare come centro di suddette coordinate il punto alla base della circonferenza del cilindro.
Ottenendo così che $0<= r <= R/2$, come sempre $0<=\psi<=2\pi$, ma non so assolutamente come impostare $z$, perchè se imponessi che $0<=z<=sqrt(R^2-r^2)$, non sarebbe coerente con la scelta di origine per le coordinate cilindriche.
In altre parole, imporrei a $z$ di variare da $0$ fino a un valore che in realtà non esiste (la sfera appunto) rispetto a quella $z$.
Mi rendo conto che ho scritto tanto e forse in maniera contorta, ma per iscritto risulta difficile spiegarmi.
Spero vivamente che voi mi possiate dare una mano, perchè non so davvero dove sbattere la testa.
Vi ringrazio tutti in anticipo!
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