Aiuto integrale razionale;
sia $ int (2x+5)/(36x^2-12x+1) dx $
si ha :
$A/(x-1/(6)) + B/(x-1/6)^2$
arriviamo alla conclusione trovando $ A=2 $ E $B=16/3$
abbiamo: $ int 2/(x-1/6) dx + int (16/3)/(x-1/(6))^2 dx $
partiamo dal primo integrale:
esplicitando il due si ha che risulta $ 2 log | x-1/6|$ risultato che dobbiamo mettere in relazione con quello del secondo integrale ;
$16/3 int 1/(x-1/(6))^2 dx $
ecco in questo caso uscendo il termine razionale $ (1/6)$ che diventa $1/36$ fuori dall'integrale , in modo tale , da far abbassare il grado del denominatore e che moltiplicando sia per il $2$ del primo integrale sia $16/3$ del secondo integrale
risulti $1/18$ e $4/27$
però non capisco una cosa; come mai il risultato viene $ 1/18 log|6x-1| -8/9* 1/((6X-1)) + C$
e non $ 1/18 log|6x-1|+ 4/27 log |6x-1|+C$
1) da dove esce fuori $-8/9$ deduco dalla moltiplicazione per un 6.... ma come mai ?
e poi come mai il secondo integrale che diventa identico al primo $ 1/ (x-1/(6) ) $ viene lasciato a moltiplicazione ..... e non risulta anch'esso $log |x-1/6|$ ?
si ha :
$A/(x-1/(6)) + B/(x-1/6)^2$
arriviamo alla conclusione trovando $ A=2 $ E $B=16/3$
abbiamo: $ int 2/(x-1/6) dx + int (16/3)/(x-1/(6))^2 dx $
partiamo dal primo integrale:
esplicitando il due si ha che risulta $ 2 log | x-1/6|$ risultato che dobbiamo mettere in relazione con quello del secondo integrale ;
$16/3 int 1/(x-1/(6))^2 dx $
ecco in questo caso uscendo il termine razionale $ (1/6)$ che diventa $1/36$ fuori dall'integrale , in modo tale , da far abbassare il grado del denominatore e che moltiplicando sia per il $2$ del primo integrale sia $16/3$ del secondo integrale
risulti $1/18$ e $4/27$
però non capisco una cosa; come mai il risultato viene $ 1/18 log|6x-1| -8/9* 1/((6X-1)) + C$
e non $ 1/18 log|6x-1|+ 4/27 log |6x-1|+C$
1) da dove esce fuori $-8/9$ deduco dalla moltiplicazione per un 6.... ma come mai ?
e poi come mai il secondo integrale che diventa identico al primo $ 1/ (x-1/(6) ) $ viene lasciato a moltiplicazione ..... e non risulta anch'esso $log |x-1/6|$ ?
Risposte
La risposta sta nella $C$, ti si accende qualcosa? 
Perché l'integrale di $1/x^2$ non è $ln|x|$!
"regim":
La risposta sta nella $C$, ti si accende qualcosa?
no però per quello che ha detto Zkeggia qualcosa mi si accende ed ho capito;
considerando che $int 1/x^n = 1/[(n-1) x^(n-1)];$
ok ora capisco la seconda parte del risultato e quindi $ 16/3 * - 1/36= -4/27$ <--edit.
però mi si è rovinato il ragionamento della prima parte XD !
quel $1/18$ all'inizio da dove viene ?
mi viene in mente $2* 1/36$ ma da dove esce fuori nel primo integrale questa moltiplicazione! Ricordo che il primo integrale è $ int (2)/((x-1/(6)) dx$
Per quanto riguarda il primo integrale c'è un errore nella soluzione del libro (o del compito)
infatti il libro sembra fare:
$1/(x-1/6) = 1/((6x-1)/6) = 1/6 * 1/(6x-1)$ e poi divide e moltiplica per 6 per risolvere il regolamento, facendo rimanere fuori $2*1/6*1/6 = 1/18$ ma è sbagliato, in quanto il passaggio che ho fatto è sbagliato.
La seconda parte invece è come dici tu.
infatti il libro sembra fare:
$1/(x-1/6) = 1/((6x-1)/6) = 1/6 * 1/(6x-1)$ e poi divide e moltiplica per 6 per risolvere il regolamento, facendo rimanere fuori $2*1/6*1/6 = 1/18$ ma è sbagliato, in quanto il passaggio che ho fatto è sbagliato.
La seconda parte invece è come dici tu.
"Zkeggia":
Per quanto riguarda il primo integrale c'è un errore nella soluzione del libro (o del compito)
infatti il libro sembra fare:
$1/(x-1/6) = 1/((6x-1)/6) = 1/6 * 1/(6x-1)$ e poi divide e moltiplica per 6 per risolvere il regolamento, facendo rimanere fuori $2*1/6*1/6 = 1/18$ ma è sbagliato, in quanto il passaggio che ho fatto è sbagliato.
La seconda parte invece è come dici tu.
Nessun errore nel libro, Mat ha un $36$ a numeratore, e basta che dividi tutto per quello, per trovare i coefficienti del libro, e' il $1/36$ che se ne va col $C$, quindi il $C$ assorbe il fattore, e ciò in quanto Mat ha trascurato di portarselo appresso, se guardi come parte, vedi che gli viene un $36$ a numeratore, mentre non esiste, e allora occorre dividerlo alla fine.
"regim":
Nessun errore nel libro, Mat ha un $36$ a numeratore, e basta che dividi tutto per quello, per trovare i coefficienti del libro, e' il $1/36$ che se ne va col $C$, quindi il $C$ assorbe il fattore, e ciò in quanto Mat ha trascurato di portarselo appresso, se guardi come parte, vedi che gli viene un $36$ a numeratore, mentre non esiste, e allora occorre dividerlo alla fine.
ci stiamo confondendo;
mi sa che il mio ragionamento di prima non centra niente o quanto meno in parte..
!il risultato generale, dipende da quello del secondo integrale!
Domanda ..... per quale regola e da dove scaturisce questo $1/36$ puoi rispondermi
?io prima ho usato il termine esplicitare , ma quì non ci stiamo capendo;
al primo membro abbiamo $2 log | x-1/(6)| $ ok; dedichiamoci al secondo.
abbiamo al secondo termine $+ int 1/(x-1/(6))^2 dx$ che in teoria dovrebbe risultare $6/(1-6x)+C$
Come ci comportiamo?
1) Diamo subito il risultato ? e mi pare di no perchè, se no il discorso di 1/36 non esiste;
2) sviluppiamo si , ma come ?
scrivimi una riga di passaggio.... non capisco cosa vuoi dire " se ne va con C" .... non ti seguo perdonami;
il secondo integrale avrà una linea logica di risoluzione.... e la domanda spontanea vedendo il risultato del secondo integrale.... ma allora da dove esce fuori e per quale regola, questo $1/36$ ?
Scusate l'intromissione, non ho letto tutto ma l'integrale [tex]$\int\frac{1}{(x-\frac{1}{6})^2}dx$[/tex] è del tipo [tex]$\int t^ndt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+costante$[/tex], mat100 prova ad eseguire con calma i conti che lo risolvi!
Dato : $ int (2x+5)/(36x^2-12x+1) dx $
si ha :
$A/(x-1/(6)) + B/(x-1/6)^2$ $->$ $ A=2 $ E $B=16/3$
$int (2x+5)/(36x^2-12x+1) dx = (1/36)* int A/(x-1/(6)) + B/(x-1/6)^2dx = (1/36)[2*ln|x-1/6| - 16/3 *1/(x-1/(6))] + 1/36*C $
$1/36*[2ln|x-1/6| - 16/3* 1/(x-1/(6))] + 1/36*C = 1/18 log|6x-1| -8/9* 1/((6X-1)) + C^{\prime}$
Ora come fai a dire che:
$1/18 log|6x - 1|$ sia uguale a $1/18 * log|x-1/6|$ ?
Devi per forza utilizzare il fatto che una primitiva sia definita a meno di una costante arbitraria. Ecco dove c'entra il $C$, dopo la moltiplicazione per $1/36$, che però è solo dovuto al fatto che hai dimenticato un fattore all'inizio.
si ha :
$A/(x-1/(6)) + B/(x-1/6)^2$ $->$ $ A=2 $ E $B=16/3$
$int (2x+5)/(36x^2-12x+1) dx = (1/36)* int A/(x-1/(6)) + B/(x-1/6)^2dx = (1/36)[2*ln|x-1/6| - 16/3 *1/(x-1/(6))] + 1/36*C $
$1/36*[2ln|x-1/6| - 16/3* 1/(x-1/(6))] + 1/36*C = 1/18 log|6x-1| -8/9* 1/((6X-1)) + C^{\prime}$
Ora come fai a dire che:
$1/18 log|6x - 1|$ sia uguale a $1/18 * log|x-1/6|$ ?
Devi per forza utilizzare il fatto che una primitiva sia definita a meno di una costante arbitraria. Ecco dove c'entra il $C$, dopo la moltiplicazione per $1/36$, che però è solo dovuto al fatto che hai dimenticato un fattore all'inizio.
Il conto è semplice: utilizza le proprietà dei logaritmi e la liberalità della costante additiva!
Mah che strano, c'era un post prima di questoi di j18eos, di uno che si chiedeva perchè la derivata di $1/x$ fosse uguale a $-1/x^2$, boh, sara stata un'allucinazione! 
"j18eos":
Il conto è semplice: utilizza le proprietà dei logaritmi e la liberalità della costante additiva!
j18eos , nello specifico di quale proprietà parli ?
io non ho mai sentito parlare di "logaritmo del valore assoluto" se ne sai qualcosa ti sarei grato se me la posti
ne tantomeno di "liberalità della costante additiva"
se hai qualche link o qualcosa per spiegarmi ...
@regim: l'ho avuta anch'io!
@mat100: [tex]$\frac{1}{18}\log|6x-1|=\frac{1}{18}\log\bigg|6\bigg(x-\frac{1}{6}\bigg)\bigg|=\frac{1}{18}\log(|6|\cdot\bigg|x-\frac{1}{6}\bigg|)=\frac{1}{18}\log6+\frac{1}{18}\log\bigg|x-\frac{1}{6}\bigg|$[/tex] il primo addendo viene "assorbito" dalla costante additiva, in quanto essa può essere qualsiasi numero reale; ecco la sua liberalità!
@mat100: [tex]$\frac{1}{18}\log|6x-1|=\frac{1}{18}\log\bigg|6\bigg(x-\frac{1}{6}\bigg)\bigg|=\frac{1}{18}\log(|6|\cdot\bigg|x-\frac{1}{6}\bigg|)=\frac{1}{18}\log6+\frac{1}{18}\log\bigg|x-\frac{1}{6}\bigg|$[/tex] il primo addendo viene "assorbito" dalla costante additiva, in quanto essa può essere qualsiasi numero reale; ecco la sua liberalità!
"j18eos":
@regim: l'ho avuta anch'io!
@mat100: [tex]$\frac{1}{18}\log|6x-1|=\frac{1}{18}\log\bigg|6\bigg(x-\frac{1}{6}\bigg)\bigg|=\frac{1}{8}\log(|6|\cdot\bigg|x-\frac{1}{6}\bigg|)=\frac{1}{8}\log6+\frac{1}{8}\log\bigg|x-\frac{1}{6}\bigg|$[/tex] il primo addendo viene "assorbito" dalla costante additiva, in quanto essa può essere qualsiasi numero reale; ecco la sua liberalità!
chi è questo che ha scritto prima ? XDti sei scordato di mettere gli 1 accanto agli 8, o è proprio $1/8$ ??
cmq J18eos, hai fatto il procedimento inverso _ ;
ascolta, invece per passare da $ log| ( x-1/6)|$ a $log|6x-1| $
diventa sempre $ log (|6|*|x-1/(6)|) $ ?
Corretto! Errore mio, confido nei tuoi conti.
Visto che nel conto che ho riportato vi è l'uguale penso che tu ti possa rispondere da solo!
Visto che nel conto che ho riportato vi è l'uguale penso che tu ti possa rispondere da solo!
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