Aiuto integrale doppio
allora ragazzi mi ritrovo d'avanti a questo integrale, del quale vorrei il vostro aiuto su come impostare.. il tutto 
$ int_(D)^( ) 1/(x^(7/2))dxdy $
con D={(x;y)€R^2/ 0<=x<=1, x^3<=y<=x^2}
io avevo pensato di impostare l'integrale, come integrale improprio e quindi sostiuire a D il dominio Dk che diventerebbe
Dk= {.........../ k<=x<=1, x^3<=y<=x^2}
e di conseguenza fare il lim per k che tente a zero del risultato finale dell'integrale... giusto??! datemi l'ok in modo da farmi continuare a illustrarvi i miei problemi grazie
$ int_(D)^( ) 1/(x^(7/2))dxdy $
con D={(x;y)€R^2/ 0<=x<=1, x^3<=y<=x^2}
io avevo pensato di impostare l'integrale, come integrale improprio e quindi sostiuire a D il dominio Dk che diventerebbe
Dk= {.........../ k<=x<=1, x^3<=y<=x^2}
e di conseguenza fare il lim per k che tente a zero del risultato finale dell'integrale... giusto??! datemi l'ok in modo da farmi continuare a illustrarvi i miei problemi
grazie
Risposte
----- dopo di che l'integrale mi diventa....
$ lim_(k ->0 ) int_(k)^(1) [int_(x^3)^(x^2) 1/(x^(7/2))dy]dx = lim_(k ->0 ) int_(k)^(1) 1/(x^(7/2))* (x^2-x^3)dx= lim_(k ->0 ) [int_(k)^(1) x^2/x^(7/2)dx - int_(k)^(1) x^3/x^(7/2)dx ]= ........ $
dopo i dovuti calcoli arrivo a questo risultato...
semplifico le x, svolgo gli integrali, e i loro risultati li estendo tra k e 1, di conseguenza mi ritrovo a questo...
$ lim_(k -> 0) [-4 + (2/sqrt(k) +2sqrt(k)) ] $
che dovrebbe fare.... $ oo $
mi confermate?? sono nelle vostre mani
$ lim_(k ->0 ) int_(k)^(1) [int_(x^3)^(x^2) 1/(x^(7/2))dy]dx = lim_(k ->0 ) int_(k)^(1) 1/(x^(7/2))* (x^2-x^3)dx= lim_(k ->0 ) [int_(k)^(1) x^2/x^(7/2)dx - int_(k)^(1) x^3/x^(7/2)dx ]= ........ $
dopo i dovuti calcoli arrivo a questo risultato...
semplifico le x, svolgo gli integrali, e i loro risultati li estendo tra k e 1, di conseguenza mi ritrovo a questo...
$ lim_(k -> 0) [-4 + (2/sqrt(k) +2sqrt(k)) ] $
che dovrebbe fare.... $ oo $
mi confermate??
sono nelle vostre mani
allora? nessuno?
Torna tutto. Ma mi chiedo se la richiesta fosse quella di effettuare il calcolo esplicito o verificare l'eventuale convergenza sul dominio (e lì avresti dovuto procedere in un altro modo).
no no chiedeva di fare il calcolo esplicito...
ora pero mi hai fatto venire la curiosità di sapere come fosse stato il caso in cui mi avessero chiesto l'eventuale convergenza sul domino... me lo spieghi per favore ? grazie mille....
ora pero mi hai fatto venire la curiosità di sapere come fosse stato il caso in cui mi avessero chiesto l'eventuale convergenza sul domino... me lo spieghi per favore
? grazie mille....
Bé, un modo possibile (non è l'unico) è di immaginare cosa accade a quell'integrale passando a coordinate polari: al di là di come si trasforma il dominio, osserva che sicuramente una condizione per esso deve essere $\rho\ge 0$, (e si ha pure $0\le\theta\le \pi/4$ in quanto il dominio si trova tutto sotto la bisettrice del primo quadrante) per cui ti puoi chiedere cosa accade quando $\rho\to 0^+$. Ora, applicando la trasformazione in coordinate polari otterrai il nuovo integrale
$\int \int_{D'} 1/{\rho^{7/2}\cdot \cos^{7/2}\theta}\ \rho\ d\rho\ d\theta=\int_0^{\pi/4}1/{\cos^{7/2}\theta}(\int_0^{g(\theta)}\rho^{-5/2}\ d\rho)\ d\theta$
dove con $g(\theta)$ ho indicato ho indicato la limitazione superiore per il raggio. A questo punto, puoi osservare che l'integrale dipendente da $\rho$ diverge e quindi hai concluso.
$\int \int_{D'} 1/{\rho^{7/2}\cdot \cos^{7/2}\theta}\ \rho\ d\rho\ d\theta=\int_0^{\pi/4}1/{\cos^{7/2}\theta}(\int_0^{g(\theta)}\rho^{-5/2}\ d\rho)\ d\theta$
dove con $g(\theta)$ ho indicato ho indicato la limitazione superiore per il raggio. A questo punto, puoi osservare che l'integrale dipendente da $\rho$ diverge e quindi hai concluso.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo