Aiuto integrale di linea!!!!

[PoppoGBR]

ciao, potete dirmi come si risolve questo integrale?

$int (((2x)/(x^2+y^2)+cos(x) )dx + ((2(x^2+y^2+y))/(x^2+y^2))dy)$


la curva è :

$x(t)= e^(2t)cos(t)$
$y(t)=te^(3t^2)$


in che modo si risolve???

[clrscr]

Sostituisci alle variabili x e y le finzione x(t) y(t). Non devi dimenticare di fare il differenziale di x(t) e y(t)..ad esempio
$dx=(2*e^(2*t)cos(t)-e^(2*t)sen(t)) dt$

[PoppoGBR]

"clrscr":Sostituisci alle variabili x e y le finzione x(t) y(t). Non devi dimenticare di fare il differenziale di x(t) e y(t)..ad esempio
$dx=(2*e^(2*t)cos(t)-e^(2*t)sen(t)) dt$

ci ho provato ma viene una funzione gigantesca e complicata e poi all'interno del coseno ci viene un altro coseno....proprio non so come andare avanti.....ah poi mi sono dimenticato un dato


$0

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[clrscr]

Una domanda..
Questo integrale è a se stante, oppure deriva da qualcos'altro, tipo una funzione differenziale?

[PoppoGBR]

"clrscr":Una domanda..
Questo integrale è a se stante, oppure deriva da qualcos'altro, tipo una funzione differenziale?

l'esercizio dice:

Calcolare il seguente integrale, e poi da tutti i dati che ti ho dato prima.

[Studente Anonimo]

"PoppoGBR":$int (((2x)/(x^2+y^2)+cos(x) )dx + ((2(x^2+y^2+y))/(x^2+y^2))dy)$

Mi pare proprio che la forma sia esatta

[PoppoGBR]

"Martino":[quote="PoppoGBR"]$int (((2x)/(x^2+y^2)+cos(x) )dx + ((2(x^2+y^2+y))/(x^2+y^2))dy)$

Mi pare proprio che la forma sia esatta [/quote]

mi puoi dire come si risolve?

[clrscr]

Comunque l'integrale non mi sembra tanto difficile.
Ad esempio
$int cos(e^(2*t)cos(t))*(2*e^(2*t) *cos(t)-e^(2*t)*sen(t)) dt$ è una forma immediata.

[Studente Anonimo]

"PoppoGBR":mi puoi dire come si risolve?

Vai alla ricerca di un integrale generale, non è difficile. Basta che cerchi una funzione F(x,y) che abbia

$(2x)/(x^2+y^2)+cos(x)$

come derivata rispetto a x, e che abbia

$(2x^2+2y^2+2y)/(x^2+y^2)$

come derivata rispetto a y. Trovata una tale F(x,y), hai che ciò che devi calcolare è $\int (F_x x'+F_y y') dt$, che equivale a $\int (d/(dt)F(x(t),y(t))) dt$, che equivale a $F(x(t),y(t))$. Tra 0 e 1

Edito: in pratica trovata tale F, la soluzione è F(x(1),y(1))-F(x(0),y(0)).

[PoppoGBR]

"Martino":[quote="PoppoGBR"]mi puoi dire come si risolve?

Vai alla ricerca di un integrale generale, non è difficile. Basta che cerchi una funzione F(x,y) che abbia

$(2x)/(x^2+y^2)+cos(x)$

come derivata rispetto a x, e che abbia

$(x^2+y^2+y)/(x^2+y^2)$

come derivata rispetto a y. Trovata una tale F(x,y), hai che ciò che devi calcolare è $\int (F_x x'+F_y y') dt$, che equivale a $\int (d/(dt)F(x(t),y(t))) dt$, che equivale a $F(x(t),y(t))$. Tra 0 e 1

Edito: in pratica trovata tale F, la soluzione è F(x(1),y(1))-F(x(0),y(0)).[/quote]

cioè quindi devo fare l'integrale della prima e della seconda, una rispetto a x e una rispetto a y?

[Studente Anonimo]

"PoppoGBR":cioè quindi devo fare l'integrale della prima e della seconda, una rispetto a x e una rispetto a y?

Scusa, non hai mai cercato le primitive di una forma esatta?

[PoppoGBR]

"Martino":[quote="PoppoGBR"]cioè quindi devo fare l'integrale della prima e della seconda, una rispetto a x e una rispetto a y?

Scusa, non hai mai cercato le primitive di una forma esatta?[/quote]

una forma esatta in che senso....un integrale normale intendi..

[Studente Anonimo]

Per esempio $xdx+ydy$ è una forma differenziale, ed è esatta ammettendo per esempio $F(x,y)=1/2(x^2+y^2)$ come primitiva. "Primitiva" nel senso che $xdx+ydy = F_xdx+F_ydy$. Le forme differenziali che ammettono una primitiva si dicono esatte.

Sei sicuro che non hai mai sentito parlare di forme differenziali?
In tal caso mi scuso di averti confuso le idee...

In ogni caso, se tu trovi $F(x,y)$ tale che

$\partial/(\partial x) F(x,y) = (2x)/(x^2+y^2)+cos(x)$
$\partial/(\partial y) F(x,y) = (2(x^2+y^2+y)/(x^2+y^2))$

allora siccome $\partial/(\partial x)F(x,y) (dx)/(dt) + \partial/(\partial y)F(x,y) (dy)/(dt) = d/(dt)F(x(t),y(t))$, puoi riscrivere l'integrale come

$\int_0^1 (\partial/(\partial x)F(x,y) (dx)/(dt) + \partial/(\partial x)F(x,y) (dy)/(dt)) dt = \int_0^1(d/(dt) F(x(t),y(t)))dt = [F(x(t),y(t))]_0^1 = F(x(1),y(1))-F(x(0),y(0))$

Per trovare una tale F puoi per esempio integrare $(2x)/(x^2+y^2)+cos(x)$ in x e poi aggiungere una opportuna funzione di y in modo che la derivata di tale somma rispetto ad y sia $(2(x^2+y^2+y))/(x^2+y^2)$.

[PoppoGBR]

"Martino":Per esempio $xdx+ydy$ è una forma differenziale, ed è esatta ammettendo per esempio $F(x,y)=1/2(x^2+y^2)$ come primitiva. "Primitiva" nel senso che $xdx+ydy = F_xdx+F_ydy$. Le forme differenziali che ammettono una primitiva si dicono esatte.

Sei sicuro che non hai mai sentito parlare di forme differenziali?
In tal caso mi scuso di averti confuso le idee...

In ogni caso, se tu trovi $F(x,y)$ tale che

$\partial/(\partial x) F(x,y) = (2x)/(x^2+y^2)+cos(x)$
$\partial/(\partial y) F(x,y) = (2(x^2+y^2+y)/(x^2+y^2))$

allora siccome $\partial/(\partial x)F(x,y) (dx)/(dt) + \partial/(\partial y)F(x,y) (dy)/(dt) = d/(dt)F(x(t),y(t))$, puoi riscrivere l'integrale come

$\int_0^1 (\partial/(\partial x)F(x,y) (dx)/(dt) + \partial/(\partial x)F(x,y) (dy)/(dt)) dt = \int_0^1(d/(dt) F(x(t),y(t)))dt = [F(x(t),y(t))]_0^1 = F(x(1),y(1))-F(x(0),y(0))$

Per trovare una tale F puoi per esempio integrare $(2x)/(x^2+y^2)+cos(x)$ in x e poi aggiungere una opportuna funzione di y in modo che la derivata di tale somma rispetto ad y sia $(2(x^2+y^2+y))/(x^2+y^2)$.

ok grazie...si le forme differenziali sapevo cosa erano...solo che il termine forma esatta o termine esatto, non l'avevo mai sentito. grazie mille cmq.

[PoppoGBR]

possibile che il risultato sia questo?

$ln(cos(2)/2+(2e^2+1)/2)+sen(e^2*cos(1))-sen(1)+2e^3+4$