Aiuto integrale definito
Salve a tutti, ho un po di problemi con questa funzione integrale.
$f(x)={(-x,if x in [-1,0)),(text{2},if x in [0,2]):}$ $F(x)= int_(-1)^(x) f(t) dt$
L'esercizio richiede di calcolare la F(x) in 1. Poi chiede se la F(x) è crescente in (0,2), se è continua in [-1,2], se è derivabile in (-1,2).
Ho svolto la prima parte è ho calcolato la F(1), che dovrebbe venire $5/2$. L'ho fatto dividendo l'integrale. Ho calcolato l'integrale definito tra -1 e 0 di -x in dx, sommando poi l'integrale definito tra 0 e 1 di 2 in dx. Il calcolo viene, però non sono troppo sicuro di questo procedimento dato che secondo la funzione lo 0 non è compreso. Per il resto naturalmente non sono riuscito ad andare avanti dato che non sono certo di aver trovato una F(x) esatta.
Se qualcuno mi potesse dare qualche spiegazione gliene sarei immensamente grato.
$f(x)={(-x,if x in [-1,0)),(text{2},if x in [0,2]):}$ $F(x)= int_(-1)^(x) f(t) dt$
L'esercizio richiede di calcolare la F(x) in 1. Poi chiede se la F(x) è crescente in (0,2), se è continua in [-1,2], se è derivabile in (-1,2).
Ho svolto la prima parte è ho calcolato la F(1), che dovrebbe venire $5/2$. L'ho fatto dividendo l'integrale. Ho calcolato l'integrale definito tra -1 e 0 di -x in dx, sommando poi l'integrale definito tra 0 e 1 di 2 in dx. Il calcolo viene, però non sono troppo sicuro di questo procedimento dato che secondo la funzione lo 0 non è compreso. Per il resto naturalmente non sono riuscito ad andare avanti dato che non sono certo di aver trovato una F(x) esatta.
Se qualcuno mi potesse dare qualche spiegazione gliene sarei immensamente grato.
Risposte
Tutto giusto, non preoccuparti 
EDIT:
Aiutati disegnando il grafico di $f(x)$ e ragiona su cosa rappresenti $F(x)$
Hint: limiti
Basta un colpo d'occhio al grafico che ti sei disegnato prima
EDIT:
"Jackgrenade":
Poi chiede se la F(x) è crescente in (0,2)
Aiutati disegnando il grafico di $f(x)$ e ragiona su cosa rappresenti $F(x)$
"Jackgrenade":
se è continua in [-1,2]
Hint: limiti
"Jackgrenade":
se è derivabile in (-1,2)
Basta un colpo d'occhio al grafico che ti sei disegnato prima
Ok ho disegnato il grafico di $f(x)$ e dovrebbe essere la bisettrice del secondo e quarto quadrante quando x è compreso tra -1 e 0 e poi una retta orizzontale con altezza 2 rispetto all'asse x quando x è compreso tra 0 e 2. La crescenza della funzione dovrebbe essere data dal fatto che $f(x)$ è la derivata di $F(x)$. Quindi dato che per $x in [0,2] $ la funzione vale 2 (numero positivo) allora la funzione è crescente in tale intervallo. Giusto?
Per la continuità immagino che vada fatto il limite della funzione integrale in 0 dove potrebbe esserci discontinuità, ma non saprei come fare il limite di tale funzione integrale.
Per la derivabilità mi hai consigliato di guardare il grafico, ma l'esercizio mi chiede la derivabilità della $F(x)$ non della $f(x)$.
Ho pensato che forse devo trovare la primitiva di tale integrale e poi studiarne la continuità con i limite in 0 e la derivabilità con il limite del rapporto incrementale.
Aiuto...
Per la continuità immagino che vada fatto il limite della funzione integrale in 0 dove potrebbe esserci discontinuità, ma non saprei come fare il limite di tale funzione integrale.
Per la derivabilità mi hai consigliato di guardare il grafico, ma l'esercizio mi chiede la derivabilità della $F(x)$ non della $f(x)$.
Ho pensato che forse devo trovare la primitiva di tale integrale e poi studiarne la continuità con i limite in 0 e la derivabilità con il limite del rapporto incrementale.
Aiuto...
"Jackgrenade":
Ok ho disegnato il grafico di $f(x)$ e dovrebbe essere la bisettrice del secondo e quarto quadrante quando x è compreso tra -1 e 0 e poi una retta orizzontale con altezza 2 rispetto all'asse x quando x è compreso tra 0 e 2. La crescenza della funzione dovrebbe essere data dal fatto che $f(x)$ è la derivata di $F(x)$. Quindi dato che per $x in [0,2] $ la funzione vale 2 (numero positivo) allora la funzione è crescente in tale intervallo. Giusto?
Ok
"Jackgrenade":
Per la continuità immagino che vada fatto il limite della funzione integrale in 0 dove potrebbe esserci discontinuità, ma non saprei come fare il limite di tale funzione integrale.
Devi controllare se
$lim_(x->0^-) int_(-1)^x -x text(d)x = lim_(x->0^+) int_(-1)^x 2 text(d)x$
"Jackgrenade":
Per la derivabilità [...] Ho pensato che forse devo trovare la primitiva di tale integrale [...]
Cioè vuoi trovare la primitiva della primitiva?! E che te ne fai?
"Jackgrenade":
Per la derivabilità mi hai consigliato di guardare il grafico, ma l'esercizio mi chiede la derivabilità della $F(x)$ non della $f(x)$.
Proprio per questo ti ho consigliato che basta una veloce occhiata al grafico... Cosa rappresenta $f(x)$ per la primitiva?...
Ma scusa la $f(x)$ non dovrebbe essere la derivata di $F(x)$ ? Se è corretto, allora guardare il grafico della $f(x)$ non mi da nessuna informazione sulla derivabilità della $F(x)$. Una funzione è non derivabile quando in un punto troviamo punti angolosi, cuspidi o asintoti verticali. Nel mio caso la derivata di $F(x)$ , cioè la mia $f(x)$ è addirittura discontinua in $ x=0 $ ma nulla vieta alla sua primitiva di non esserlo o sbaglio? Se mi sbagliassi allora avrei risolto l'esercizio e sarei molto molto contento perché almeno ho chiarito un dubbio che mi attanaglia da giorni. Scusa se sono pignolo e non capisco...
"Jackgrenade":
Ma scusa la $f(x)$ non dovrebbe essere la derivata di $F(x)$ ?
Certo!
"Jackgrenade":
Se è corretto, allora guardare il grafico della $f(x)$ non mi da nessuna informazione sulla derivabilità della $F(x)$.
Ah no? Eppure quel grafico lì ti mostra chiaramente il comportamento della derivata - e dimmi se non è un'informazione!
"Jackgrenade":
Una funzione è non derivabile quando in un punto troviamo punti angolosi, cuspidi o asintoti verticali.
Ma cosa ti importa sapere se la primitiva presenta punti angolosi, cuspidi, ...
"Jackgrenade":
Nel mio caso la derivata di $F(x)$ , cioè la mia $f(x)$ è addirittura discontinua in $ x=0 $ ma nulla vieta alla sua primitiva di non esserlo o sbaglio?
Certo che la primitiva può essere continua in un punto dove la derivata non lo è, ma ovviamente non sarà ivi derivabile.
Hai affermato che $f(x)$ è discontinua in $x_0=0$: giusto, e quindi? $F(x)$ può essere derivabile in quel punto?
Ok perfetto. Grazie mille. Invece per risolvere il limiti degli integrali per la continuità come si fa? scusa se continuo a chiedere..
Prima risolvi l'integrale e poi calcoli il limite.
Ok quindi in teoria mi comporto normalmente come per un qualsiasi integrale? Per esempio per il primo dovrebbe essere $ (1/2)(1-x^2)$ se non sbaglio, e calcolando il limite viene $1/2$, il secondo invece mi viene $2(x+1)$ il cui limite è $2$. Temo che sia sbagliato completamente...
Ma va', tutto giusto
Quindi in teoria secondo i miei risultati non dovrebbe essere continua nell'intervallo $[-1,2]$ e invece secondo l'esercizio dovrebbe esserlo.
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