Aiuto Integrale

[hamming_burst]

Salve,
chiedo un aiuto.

Sto rispolverando alcuni tipi di integrali, tipo quelli con denominatore di grado 2 senza soluzioni reali, perciò sono un attimo arrugginito e non capisco se ho sbagliato il procedimento. La soluzione che ho trovato è diversa da quella sul testo.

Perciò riporto tutti i passaggi per chiedervi se potreste dirmi dove sbaglio:

integrale: $\int 1/(x^2+x+1)dx$

completo il quadrato al denominatore, diventando:

$\int 1/(3/4+(x+1/2)^2)dx$

cerco di decomporlo nella forma dell'integrale immediato dell'arcotangente:

$\int 1/(3/4+(x+1/2)^2)dx = \int 1/(3/4(1+((x+1/2)^2)/(3/4)))dx = 4/3*\int 1/(1+((x+1/2)^2)/(3/4))dx =$

$4/3*\int 1/(1+((x+1/2)/(sqrt(3)/sqrt(4)))^2)dx = 4/3*\int 1/(1+((sqrt(4)/sqrt(3))*(x+1/2))^2)dx = 4/3*\int 1/(1+(sqrt(4)/sqrt(3)x+sqrt(4)/sqrt(3)1/2)^2dx$ =

$4/3*\int (sqrt(4)/sqrt(3))/(sqrt(4)/sqrt(3))*1/(1+(sqrt(4)/sqrt(3)x+sqrt(4)/sqrt(3)1/2)^2)dx =$

$4/3*(sqrt(3)/sqrt(4))\int (sqrt(4)/sqrt(3))/(1+(sqrt(4)/sqrt(3)x+sqrt(4)/sqrt(3)1/2)^2)dx $

risultato mio:

$4/3*(sqrt(3)/sqrt(4))*arctan(sqrt(4)/sqrt(3)x+sqrt(4)/sqrt(3)1/2) + C$


EDIT init:

facendo qualche semplificazione e tralasciando i valori assoluti delle radici:

$(2sqrt(3))/3*arctan((2x+1)/sqrt(3)) + C$


qua il dubbio ma l'arcotangente non è una funzione limitata, come fa la soluzione del testo a risultare addirittura una tangente? e i valori assoluti non sono da considerare?

EDIT finish


soluzione testo:

$2/sqrt(3)*tan((2x+1)/sqrt(3)) + C$



Dove sta l'errore?

RinGrazio chi aiuta

[K.Lomax]

L'errore sta nel fatto che il libro si è dimenticato di aggiungere [tex]\text{arc}[/tex] . Il risultato tuo è corretto.

[hamming_burst]

ah ok ...ho trovato pure un errore nel libro. Grazie mille
Senza pensarci potevo pure fare la derivata...ma se dici che è corretto ancora meglio.

Già che sono in tema, vorrei chiedere un'altra cosa, senza aprire altri post.

E' possibile trasformare con qualche passaggio magico:

$1/t^2$ in $ 1/(1+t^2)$

da arrivare alla derivata dell'arcotangente (sarebbe una funziona da integrare), ho fatto alcune prove ma a me non torna nulla. Qualcuno sa come fare, o sa dirmi se è matematicamente possibile farlo?

[K.Lomax]

Non ne capisco il motivo dato che [tex]\dfrac{1}{t^2}[/tex] è integrabile elementarmente. Forse, in questo caso, c'è qualcosa che stai sbagliando.

[hamming_burst]

si bhe

$\int 1/(t^2) dt = -1/t + C$

ma io chiedevo proprio il caso di trasformare

$1/t^2 $ in $ 1/(1+t^2)$

non avrà molto significato, ma vorrei sapere se è possibile, anche se a prima vista mi sembra difficile che venga.

cmq grazie