Aiuto integrale

[Chicco_Stat_1]

carissimi, domattina ho il mio primo esame di dottorato..qualche topic di analisi..
il problema è che ho qualche difficoltà sull'integrazione secondo Riemann-Stieltjes, in quanto vista di corsa in un'oretta l'ultima lezione..e non ho trovato
una cippa di esercizi svolti per riuscire a comprendere bene come muovermi..

Allora...quel che so:

- quando esiste o meno l'integrale secondo Riemann-Stieltjes, ovvero le condizioni cui $f$, integranda, e $Phi$, integratrice, devono sottostare
- che devo costruire una partizione $x_0=a<=x_1<=x_2<=...<=x_n=b$ dell'intervallo di integrazione $[a,b]$ per poter costruire le quantità costituenti la somma di Riemann-Stieltjes, ovvero (ipotizziamo $f$ continua e $Phi$ monotona a tratti, $xi_i$ un punto a caso in $[x_(i-1),x_i]$, $i=1,...,n$)

$sum_(i=1)^n f(xi_i)*[Phi(x_i)-Phi(x_(i-1))] = sum_(i=1)^n f(xi_i)*Delta(x_i) = int_a^b f(x) dPhi(x)$

- che se l'integratrice $Phi$ è costante nel tratto $[x_(i-1),x_i]$ allora $Delta(x_i)=0$

Quello che NON so:

- come diamine la scelgo la partizione? ho idea di dover fare in modo di comprendere "al meglio" gli eventuali salti della funzione integratrice..ma..come??


spero riusciate ad aiutarmi...magari due esempi con una funzione integratrice a gradini e una invece monotona a tratti..per quella a gradini dovrebbe essere più semplice, mi basta considerare di volta in volta l'intervallino che contiene il salto, tanto altrove sommo 0 (giusto?), mentre per una più generica non so che pesci pigliare..

grazie

[Chicco_Stat_1]

Intanto vi posto una iper azzardata risoluzione di un esercizio che ho qui...non sapendo che fare ho provato un po'..boh...

$f(x)=ln(1+x^2)$

$Phi(x)={(x,0<=x<1),(3,x=1),(1+x,1
calcolare $int_0^2 f(x)dPhi(x)$

Allora...$f$ continua, $Phi$ monotona a tratti, quindi l'integrale di RS esiste. Scelgo come partizione

$x_0=0<1/2=x_1<1=x_2<3/2=x_3<2=x_4$

$Delta(x_1)=Phi(x_1)-Phi(x_0)=x-x=0$
$Delta(x_2)=Phi(x_2)-Phi(x_1)=3-x$
$Delta(x_3)=Phi(x_3)-Phi(x_2)=1+x-3=x-2$
$Delta(x_4)=Phi(x_4)-Phi(x_3)=4-(1+x)=3-x$

scelgo a caso $xi_i$ in ogni intervallo (ho scelto quelli più comodi..)

$xi_1 in [0,1/2], xi_1=0, f(xi_1)=0$
$xi_2 in [1/2,1], xi_2=1, f(xi_2)=ln(2)$
$xi_3 in [1,3/2], xi_3=1, f(xi_3)=ln(2)$
$xi_4 in [3/2,2], xi_4=2, f(xi_4)=ln(5)$

quindi

$int_0^2 f(x)dPhi(x)=sum_(i=1)^4 f(xi_i)*Delta(x_i)=f(0)*0+f(1)*(3-0)+f(1)*(1-2)+f(2)*(3-2)=0*0 + ln(2)*3 + ln(2)*(-1) + ln(5)*(1) = 2*ln(2) - ln(5) = ln(4/5)$

s.e.o.

ma anche sos! che dite?