Aiuto Funzioni linearmente indipendenti!

[nikoroby84]

Le tre funzioni y1(x)=x, y2(x)=sen(x) e y3(x)=x+4sen(x) sono linearmente dipendenti? giustificare la risposta!

Io sò che sono linearmente indipendenti quando
a(y1)+b(y2)+c(y3)=0
con a ,b,c scalare e se ho come soluzione a=0 e b=0 e c=0 i! Quindi basta trovare uno scalare diverso da zero che soddisfi l'equazione ed ho dimostrato che sn linearmente dipendenti! Il problema è che nn riesco a capire come procedere! Potrei affrontare il problema verificando che una sia combinazione lineare delle altre 2 ma nn riesco a trovarne! Mi potreste dare una mano? grazie :)

Aggiunto 13 ore 40 minuti più tardi:

ho scritto male y3(x)=x+4xsen(x)

[ciampax]

Considera le tre funzioni

[math]y_1(x)=x,\ y_2(x)=\sin x,\ y_3(x)=x+4x\sin x[/math]

. Affinché risultino indipendenti deve essere, come dicevi

[math]ay_1(x)+by_2(x)+cy_3(x)=0[/math]

per ogni x se e solo se

[math]a=b=c=0[/math]

Pertanto, puoi scegliere tre valori arbitrari di

[math]x[/math]

e verificare che il sistema abbia o meno soluzione banale. Infatti, per esempio

[math]x=\pi/2\ \Rightarrow\ \frac{a\pi}{2}+b+\frac{5c\pi}{2}=0\\
x=\pi\ \Rightarrow\ a\pi+c\pi=0\\
x=3\pi/2\ \Rightarrow\ \frac{3a\pi}{2}-b-\frac{3c\pi}{2}=0[/math]

Dalla seconda si verifica che

[math]a=-c[/math]

mentre, sommando membro a membro la prima e la terza ottieni

[math]2a\pi+c\pi=0\ \Rightarrow\ -3c\pi=0\ \Rightarrow\ c=0[/math]

Ne segue quindi

[math]a=0[/math]

e sostituendo tali valori di

[math]a,c[/math]

nella prima anche

[math]b=0[/math]