Aiuto funzione 2 variabili
ciao a tutti,
non riesco a studiare il segno di questa funzione
$|6*x-5*y+3|^2+|-3*y|^2-4$
Inoltre per determinare eventuali massimi e minimi assoluti e relativi uso l'hessiano e trovo solo $(-1/2,0)$. Potreste aiutarmi con lo studio del segno e dirmi come è possibile in questo caso trovare massimi e minimi grazie al segno? Ce ne sono altri oltre a quello che ho trovato con l'hessiano?
grazie e ciao
non riesco a studiare il segno di questa funzione
$|6*x-5*y+3|^2+|-3*y|^2-4$
Inoltre per determinare eventuali massimi e minimi assoluti e relativi uso l'hessiano e trovo solo $(-1/2,0)$. Potreste aiutarmi con lo studio del segno e dirmi come è possibile in questo caso trovare massimi e minimi grazie al segno? Ce ne sono altri oltre a quello che ho trovato con l'hessiano?
grazie e ciao
Risposte
Sicuramente la funzione non può scendere al di sotto del valore che assume quando i due quadrati sono contemporaneamente nulli (-4). Inoltre riesci a vedere che un massimo assoluto non c'è: basta fissare, ad esempio $y=0$. Se la $x$ cresce arbitrariamente così fa pure la funzione.
Comunque, questa funzione è sicuramente differenziabile (perché è una funzione polinomiale), ed è definita ovunque. Perciò tutti i punti di massimo o di minimo sono punti di differenziabilità e quindi li trovi con l'annullamento del gradiente. Per il ragionamento di prima (dei due quadrati) il minimo assoluto lo raggiungi quando i due quadrati sono nulli, ovvero, senza fare tanti conti, in $(-1/2, 0)$. Calcolando i punti di annullamento del gradiente -come hai fatto- ti accorgi anche che quello è l'unico punto critico, quindi, per il ragionamento di prima (sulla differenziabilità) è l'unico punto di minimo e/o di massimo. Puoi concludere che massimi non ce ne sono, e c'è un solo minimo, assoluto. Non è stato necessario calcolare il det. Hessiano. Era questo che ti serviva?
(edit) piccoli aggiustamenti
Comunque, questa funzione è sicuramente differenziabile (perché è una funzione polinomiale), ed è definita ovunque. Perciò tutti i punti di massimo o di minimo sono punti di differenziabilità e quindi li trovi con l'annullamento del gradiente. Per il ragionamento di prima (dei due quadrati) il minimo assoluto lo raggiungi quando i due quadrati sono nulli, ovvero, senza fare tanti conti, in $(-1/2, 0)$. Calcolando i punti di annullamento del gradiente -come hai fatto- ti accorgi anche che quello è l'unico punto critico, quindi, per il ragionamento di prima (sulla differenziabilità) è l'unico punto di minimo e/o di massimo. Puoi concludere che massimi non ce ne sono, e c'è un solo minimo, assoluto. Non è stato necessario calcolare il det. Hessiano. Era questo che ti serviva?
(edit) piccoli aggiustamenti
da quel poco che sono riuscita ad intuire, dato il problema di visualizzazione delle formule, mi pare che ci siano due moduli entrambi al quadrato: in tal caso, indipendentemente dal fatto che le espressioni dentro i simboli del modulo siano positive o negative, puoi elevare al quadrato indifferentemente, perché valori opposti hanno lo stesso quadrato. dovresti ottenere, se uguagli a zero, l'equazione di un'ellisse, per cui il segno dovrebbe essere positivo nei punti esterni a tale ellisse. ciao.
[OT] ciao adaBTTLS!!!! da un po' non ci incrociavamo!! addirittura membro senior sei diventata 
! avanti di questo passo diventi proprietaria del sito!!! [/OT] La funzione, per chi non vede le formule, è f(x,y)=|6x-5y+3|^2+|-3y|^2-4. Sviluppando i quadrati si arriva a f(x,y)=36x^2-60xy+36x+34y^2-30y+5.
da un po' non ci incrociavamo!! addirittura membro senior sei diventata ! avanti di questo passo diventi proprietaria del sito!!! [/OT] La funzione, per chi non vede le formule, è f(x,y)=|6x-5y+3|^2+|-3y|^2-4. Sviluppando i quadrati si arriva a f(x,y)=36x^2-60xy+36x+34y^2-30y+5.
ciao dissonance!
sì, è quello che ho ottenuto anch'io. le formule non le visualizzo, ma se posiziono il cursore del mouse sopra la formula, riesco a "leggerle" per pochi istanti... quando non sono troppo complicate!
sì, è quello che ho ottenuto anch'io. le formule non le visualizzo, ma se posiziono il cursore del mouse sopra la formula, riesco a "leggerle" per pochi istanti... quando non sono troppo complicate!
Grazie a quelli che mi hanno risposto (in effetti non avevo considerato che fosse superfluo calcolare il det. hessiano).
Vorrei però sapere come effettivamente posso impostare lo studio del segno (l'esercizio lo richiede esplicitamente) dato che sviluppando i quadrati non si perviene ad una conica nè si può raccogliere per arrivarci.
Ancora una domanda: per determinare max e min della stessa funzione con il vincolo seguente:
$-8*x+y=-2$
l'unico percorso è quello dei moltiplicatori di Lagrange? Se sì qualcuno può dirmi se il sistema è impostato correttamente?
$\{(72*x-60*y+36+8*$\lambda=0),(60*x+32*y+30+$\lambda=0),(-8*x+y+2=0):}$
quali punti critici vincolati si trovano?
grazie a tutti
Vorrei però sapere come effettivamente posso impostare lo studio del segno (l'esercizio lo richiede esplicitamente) dato che sviluppando i quadrati non si perviene ad una conica nè si può raccogliere per arrivarci.
Ancora una domanda: per determinare max e min della stessa funzione con il vincolo seguente:
$-8*x+y=-2$
l'unico percorso è quello dei moltiplicatori di Lagrange? Se sì qualcuno può dirmi se il sistema è impostato correttamente?
$\{(72*x-60*y+36+8*$\lambda=0),(60*x+32*y+30+$\lambda=0),(-8*x+y+2=0):}$
quali punti critici vincolati si trovano?
grazie a tutti
guarda che, sviluppando i quadrati, si perviene ad una conica (ellisse): l'equazione trovata da me è la stessa che ti ha scritto dissonance... per il segno dovrebbe essere semplice (positivo nei punti esterni all'ellisse, come ti ho scritto nel primo messaggio, negativo all'interno...). per il massimo (che non c'è, secondo quello che ti ha detto dissonance) e per il minimo, puoi ricorrere alle derivate parziali... se hai calcolato l'hessiano sei andato già oltre... ciao.
sì, effettivamente sviluppando i quadrati si ottiene un'ellisse.
sarà una domanda idiota ma come faccio a trasformarla in un'equazione canonica per trovare i semiassi a e b e quindi poter studiare il segno con la rappresentazione grafica (punti esterni positivi e interni negativi o viceversa)???
per favore risp grazie
sarà una domanda idiota ma come faccio a trasformarla in un'equazione canonica per trovare i semiassi a e b e quindi poter studiare il segno con la rappresentazione grafica (punti esterni positivi e interni negativi o viceversa)???
per favore risp grazie
se è un problema di riduzione a forma canonica, è una questione che non riguarda più lo studio di funzioni di due variabili...
tu sai già che è un'ellisse l'intersezione con il piano z=0. devi continuare a studiare la funzione oppure devi fare una trasformazione degli assi x, y in modo da ridurre la conica a forma canonica? in base all'ultima richiesta, sembrerebbe questa seconda cosa... in tal caso l'ambito è la geometria analitica, ed il procedimento è noioso ma standard: devi partire dalla matrice della forma quadratica e ricavarne prima una rotazione poi una traslazione; il procedimento termina qui, dopo alcuni passaggi algebrici, perché si tratta di una conica a centro.
chiarisci prima che cosa devi fare nell'esercizio e, se veramente si tratta del procedimento appena descritto, rivedi qualcosa sull'argomento, prova a scrivere una tua idea e chiedi aiuto eventualmente su passaggi specifici.
ciao.
tu sai già che è un'ellisse l'intersezione con il piano z=0. devi continuare a studiare la funzione oppure devi fare una trasformazione degli assi x, y in modo da ridurre la conica a forma canonica? in base all'ultima richiesta, sembrerebbe questa seconda cosa... in tal caso l'ambito è la geometria analitica, ed il procedimento è noioso ma standard: devi partire dalla matrice della forma quadratica e ricavarne prima una rotazione poi una traslazione; il procedimento termina qui, dopo alcuni passaggi algebrici, perché si tratta di una conica a centro.
chiarisci prima che cosa devi fare nell'esercizio e, se veramente si tratta del procedimento appena descritto, rivedi qualcosa sull'argomento, prova a scrivere una tua idea e chiedi aiuto eventualmente su passaggi specifici.
ciao.
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