Aiuto forma differenziale URGENTE!!!

[Goldenboy21]

Ciao ragazzi non riesco proprio a trovarmi la primitiva di questa forma....

$\omega=y/(x(x+y))dx+x/(y(x+y))dy$

grazie tante!!!

[ELWOOD1]

la primitiva rispetto a cosa? di che tipo di equazione si tratta?

comunque al denominatore hai 2 prodotti....prova a svolgere l'integrale per decomposizione

[Paolo902]

"ELWOOD":la primitiva rispetto a cosa? di che tipo di equazione si tratta?

comunque al denominatore hai 2 prodotti....prova a svolgere l'integrale per decomposizione

No, non si tratta di un'equazione; è una 1-forma...

$\omega=\frac{y}{x(x+y)}dx+\frac{x}{y(y+x)}dy$

La forma differenziale è esatta visto che
$\frac{\partial}{\partial y}\frac{y}{x(x+y)}=\frac{\partial}{\partial x}\frac{x}{y(x+y)}=\frac{1}{(x+y)^2}$
Dunque ammetterà un potenziale $\Phi$, tale che $\Partial \Phi = \omega$. Cerchiamolo.

$\int \frac{y}{x(x+y)}dx= - log \frac{x+y}{x} + c(y) = \Phi(x,y)$

Ma deve essere $\frac{\partial \Phi}{\partial y}(x,y)=\frac{x}{y(y+x)}$ cioè
$-\frac{1}{x+y}+c'(y)=\frac{x}{y(x+y)}$

da cui si ricava che $c'(y)=\frac{1}{y}$. Integrando rispetto a $y$ si ha $c(y)=logy$. Quindi una primitiva è data da

$\Phi(x,y) = - log \frac{x+y}{x} + logy = log \frac{xy}{x+y}$

Tutto chiaro? Spero di non aver fatto errori di calcolo... Ovviamente se hai dubbi chiedi pure. Stammi bene,

Paolo

P.S. Un caro saluto anche a te, carissimo ELWOOD.. Pol

[Goldenboy21]

grazie per la vostra disponibilità tutto chiaro.
ciao, andrea.

[Paolo902]

"Goldenboy2":grazie per la vostra disponibilità tutto chiaro.
ciao, andrea.

De nada...

Paolo

[ELWOOD1]

...mi puzzava un pò di qualcosa simile alle componenti di un campo vettoriale infatti!saludos!