Aiuto Forma Differenziale
Scusate ragazzi sono nuovo del forum cerco aiuto perchè è da circa due giorni che tento di studiare la seguente forma differenziale senza alcun risultato . Allora la forma è $(((y)/(x^2−y^2))+e^x) dx + (((x)/(y^2−x^2))+e^y)dy$
premetto che ho verificato che la forma è chiusa , il dominio non è semplicemente connesso ma i sottoinsiemi si quindi è esatta in ciascuno dei sottoinsiemi . Il difficile viene al momento di calcolare la primitiva , perchè mi viene richiesto di calcolare la primitiva che si annulla in (1,0) a questo punto con il metodo classico ovvero integrando rispetto alle x il primo "pezzo" della forma e poi derivandolo per y , e infine ponendolo uguale alla seconda parte della forma differenziale vengono dei risultati strani e la primitiva non si annulla.
Chiedo quindi cortesemente il vostro aiuto e ringrazio anticipatamente chiunque voglia aiutarmi
premetto che ho verificato che la forma è chiusa , il dominio non è semplicemente connesso ma i sottoinsiemi si quindi è esatta in ciascuno dei sottoinsiemi . Il difficile viene al momento di calcolare la primitiva , perchè mi viene richiesto di calcolare la primitiva che si annulla in (1,0) a questo punto con il metodo classico ovvero integrando rispetto alle x il primo "pezzo" della forma e poi derivandolo per y , e infine ponendolo uguale alla seconda parte della forma differenziale vengono dei risultati strani e la primitiva non si annulla.
Chiedo quindi cortesemente il vostro aiuto e ringrazio anticipatamente chiunque voglia aiutarmi
Risposte
Per forza si annulla, la primitiva è definita a meno di una costante additiva! Se hai già trovato una primitiva devi semplicemente cercare il giusto valore della costante. Un'alternativa per avere direttamente la primitiva che si annulla in quel punto era calcolare l'integrale curvilineo lungo una curva che va da $(1,0)$ al punto generico $(x,y)$. Ovviamente questo è possibile farlo soltanto nella componente connessa in cui si trova il punto, e in effetti è solo lì che c'è l'unicità della soluzione.
Spero di non aver detto cavolate visto che è da un po' che non vedo 'ste cose.
Spero di non aver detto cavolate visto che è da un po' che non vedo 'ste cose.
"loredora":
e infine ponendolo uguale alla seconda parte della forma differenziale vengono dei risultati strani e la primitiva non si annulla.
Non si annulla la primitiva. Fai un qualche errore nei calcoli.
Perchè non metti qualche passaggio ?
ho controllato e ricontrollato tutto su wolfram ... ho chiesto aiuto nel forum perchè alla fine la primitiva veniva una cosa del tipo $arctang(x/y)+arctang(y/x)+log(x+y) ...$ e altra roba mi sembra ovvio che c'è qualcosa che non va perchè nel momento in cui sostituisco x e y si annulla il denominatore dell'arcotangente e quindi non è definita . Per quel che riguarda la primitiva con l'integrale curvilineo non ne ho sentito parlare e mi piacerebbe saperne qualcosa in più in merito.
Comunque per chi mi chiedeva i passaggi
integro rispetto a x e dovrebbe venire una cosa del tipo $arctang(x/y)+e^x$ poi derivo rispetto alla y e ottengo $(x)/(x^2+y^2)$ quando pongo uguale a b non si annulla niente e devo calcolarmi l'integrale rispetto a y che viene una bestia enorme . Se qualcuno ne riesce a venire a capo lo ringrazio in anticipo
Comunque per chi mi chiedeva i passaggi
integro rispetto a x e dovrebbe venire una cosa del tipo $arctang(x/y)+e^x$ poi derivo rispetto alla y e ottengo $(x)/(x^2+y^2)$ quando pongo uguale a b non si annulla niente e devo calcolarmi l'integrale rispetto a y che viene una bestia enorme . Se qualcuno ne riesce a venire a capo lo ringrazio in anticipo
Non viene l'arcotangente... vedi che ci sono degli errori ?
Se vuoi mettere i passaggi che fai....
Se vuoi mettere i passaggi che fai....
@loredora:
$\int{a}/{t^2-a^2}\ dt=1/{2}\log|{t-a}/{t+a}|$
mentre
$\arctan(t/a)=\int{a}/{t^2+a^2}\ dt$
$\int{a}/{t^2-a^2}\ dt=1/{2}\log|{t-a}/{t+a}|$
mentre
$\arctan(t/a)=\int{a}/{t^2+a^2}\ dt$
è la stessa cosa diventava $arctang(-x/y)$ e poi semplicemente portavo il meno fuori
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