Aiuto esercizio serie
Buongiorno avrei bisogno di un aiutino con questa serie, non so che fare visto che non posso usare la cosa della somma e manco il criterio di convergenza assoluta/leibniz
$ sum((1)/(n+(-1)^(n) n^(2))) $
Grazie mille
$ sum((1)/(n+(-1)^(n) n^(2))) $
Grazie mille
Risposte
"La cosa della somma" non si può sentire. Ci sono un sacco di criteri di convergenza che non usano la richiesta che il termine generale sia di segno costante https://en.wikipedia.org/wiki/Convergence_tests scegli il tuo preferito.
Ciao! Potresti osservare che
$$frac{1}{n+(-1)^n n^2}=frac{n-(-1)^n n^2}{(n+(-1)^n n^2)(n-(-1)^n n^2)}=frac{n-(-1)^n n^2}{n^2-n^4}=frac{1-(-1)^n n}{n-n^3}$$
$$=frac{1}{n-n^3}-frac{(-1)^n}{1-n^2}$$
[ot]
Brutto forte! Chissà poi cosa significa.[/ot]
$$frac{1}{n+(-1)^n n^2}=frac{n-(-1)^n n^2}{(n+(-1)^n n^2)(n-(-1)^n n^2)}=frac{n-(-1)^n n^2}{n^2-n^4}=frac{1-(-1)^n n}{n-n^3}$$
$$=frac{1}{n-n^3}-frac{(-1)^n}{1-n^2}$$
[ot]
"solaàl":
"La cosa della somma" non si può sentire.
Brutto forte! Chissà poi cosa significa.[/ot]
Ciao BlackStarR,
Immagino che la serie proposta sia la seguente:
$\sum_{n = 2}^{+\infty} 1/(n+(-1)^n n^2) $
In realtà "la cosa della somma" (che rimane una locuzione orrenda, concordo pienamente con coloro che mi hanno preceduto nella risposta...
) la puoi usare, perché risistemando un po' il suggerimento che ti ha già scritto Mephlip, si può scrivere:
$\sum_{n = 2}^{+\infty} 1/(n+(-1)^n n^2) = \sum_{n = 2}^{+\infty} [\frac{(-1)^n}{n^2-1} - 1/(n(n^2 -1))] $
Considerando $a_n = 1/(n+(-1)^n n^2) = [\frac{(-1)^n}{n^2-1} - 1/(n(n^2 -1))] $ ed indicando con $s_n $ le somme parziali, si ha:
$ s_2 = a_2 = 1/3 - 1/6 = 1/6 $
$ s_3 = s_2 + a_3 = 1/3 - 1/6 - 1/8 - 1/24 = 0 $
$ s_4 = s_3 + a_4 = 1/3 - 1/6 - 1/8 - 1/24 + 1/15 - 1/60 = 0 + 1/20 = 1/20 $
$ s_5 = s_4 + a_5 = 1/20 - 1/24 - 1/120 = 0 $
$ s_6 = s_5 + a_6 = 0 + 1/35 - 1/210 = 5/210 = 1/42 $
$.$
$.$
$.$
$ s_m = (1 + (-1)^m)/(2m(m + 1)) $
Pertanto si ha:
$ S = \lim_{m \to +\infty}\sum_{n = 2}^{m} 1/(n+(-1)^n n^2) = \lim_{m \to +\infty} \sum_{n = 2}^{m} [\frac{(-1)^n}{n^2-1} - 1/(n(n^2 -1))] = $
$ = \sum_{n = 2}^{+\infty} [\frac{(-1)^n}{n^2-1} - 1/(n(n^2 -1))] = \sum_{n = 2}^{+\infty} 1/(n+(-1)^n n^2) = \lim_{m \to +\infty} (1 + (-1)^m)/(2m(m + 1)) = 0 $
Immagino che la serie proposta sia la seguente:
$\sum_{n = 2}^{+\infty} 1/(n+(-1)^n n^2) $
"BlackStarR":
non posso usare la cosa della somma
In realtà "la cosa della somma" (che rimane una locuzione orrenda, concordo pienamente con coloro che mi hanno preceduto nella risposta...
) la puoi usare, perché risistemando un po' il suggerimento che ti ha già scritto Mephlip, si può scrivere:$\sum_{n = 2}^{+\infty} 1/(n+(-1)^n n^2) = \sum_{n = 2}^{+\infty} [\frac{(-1)^n}{n^2-1} - 1/(n(n^2 -1))] $
Considerando $a_n = 1/(n+(-1)^n n^2) = [\frac{(-1)^n}{n^2-1} - 1/(n(n^2 -1))] $ ed indicando con $s_n $ le somme parziali, si ha:
$ s_2 = a_2 = 1/3 - 1/6 = 1/6 $
$ s_3 = s_2 + a_3 = 1/3 - 1/6 - 1/8 - 1/24 = 0 $
$ s_4 = s_3 + a_4 = 1/3 - 1/6 - 1/8 - 1/24 + 1/15 - 1/60 = 0 + 1/20 = 1/20 $
$ s_5 = s_4 + a_5 = 1/20 - 1/24 - 1/120 = 0 $
$ s_6 = s_5 + a_6 = 0 + 1/35 - 1/210 = 5/210 = 1/42 $
$.$
$.$
$.$
$ s_m = (1 + (-1)^m)/(2m(m + 1)) $
Pertanto si ha:
$ S = \lim_{m \to +\infty}\sum_{n = 2}^{m} 1/(n+(-1)^n n^2) = \lim_{m \to +\infty} \sum_{n = 2}^{m} [\frac{(-1)^n}{n^2-1} - 1/(n(n^2 -1))] = $
$ = \sum_{n = 2}^{+\infty} [\frac{(-1)^n}{n^2-1} - 1/(n(n^2 -1))] = \sum_{n = 2}^{+\infty} 1/(n+(-1)^n n^2) = \lim_{m \to +\infty} (1 + (-1)^m)/(2m(m + 1)) = 0 $
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