Aiuto esercizio polinomio di Taylor di funzione composta.
L'esercizio in questione è:
$\lim_{x \to \0} (e^sin x-e^x+sin(x^3))/(x^3*e^cosx)$
Sto impazzendo perché mi pare di aver capito, ma quando sviluppo viene fuori un abominio.
I miei dubbi sono riguardo tutti gli sviluppi.
E' corretto sviluppare $e^sinx$ in questo modo $(1+ sinx+(sinx)^2/2+(sinx)^3/6) e poi ancora
$[1+(x-x^3/6)+(x-x^3/6)^2/2+(x-x^3/6)^3/6]$
Poi anche gli altri, il problema è che vengono fuori numeri molto grandi e ordini diversi.
Come faccio a risolverlo correttamente senza sbagliare? Grazie a tutti.
$\lim_{x \to \0} (e^sin x-e^x+sin(x^3))/(x^3*e^cosx)$
Sto impazzendo perché mi pare di aver capito, ma quando sviluppo viene fuori un abominio.
I miei dubbi sono riguardo tutti gli sviluppi.
E' corretto sviluppare $e^sinx$ in questo modo $(1+ sinx+(sinx)^2/2+(sinx)^3/6) e poi ancora
$[1+(x-x^3/6)+(x-x^3/6)^2/2+(x-x^3/6)^3/6]$
Poi anche gli altri, il problema è che vengono fuori numeri molto grandi e ordini diversi.
Come faccio a risolverlo correttamente senza sbagliare? Grazie a tutti.
Risposte
non banale come esercizio!
Dunque il tuo approccio è giusto. Il problema sta solo nel capire a che grado fermarsi.
Se osservi subito che $e^(cosx)$ non è un infinitesimo per x che tende a 0 puoi ragionevolmente pensare di fermarti al terzo grado e vedere cosa succede.
Ti anticipo che sviluppando fino al terzo grado (ovvero da quell'espressione che hai scritto tu devi prendere solo i termini con grado fino al 3 trascurando tutti i termini di grado superiore) (mi sembra che i termini da prendere siano non più di una decina) il numeratore dovrebbe essere proprio $x^3+o(x^3)$
Dunque il tuo approccio è giusto. Il problema sta solo nel capire a che grado fermarsi.
Se osservi subito che $e^(cosx)$ non è un infinitesimo per x che tende a 0 puoi ragionevolmente pensare di fermarti al terzo grado e vedere cosa succede.
Ti anticipo che sviluppando fino al terzo grado (ovvero da quell'espressione che hai scritto tu devi prendere solo i termini con grado fino al 3 trascurando tutti i termini di grado superiore) (mi sembra che i termini da prendere siano non più di una decina) il numeratore dovrebbe essere proprio $x^3+o(x^3)$
Grazie della dritta, ora è molto più chiaro, ma sviluppando fino al terzo grado nel mio caso come prendo i termini di
$(x-x^3/6)^2/2+ (x-x^3/6)^3/6$
Grazie ancora del tempo che mi dedichi
$(x-x^3/6)^2/2+ (x-x^3/6)^3/6$
Grazie ancora del tempo che mi dedichi
lo calcoli normalemente e poi "butti" tutti i termini di grado superiore:
cioè $(x-x^3)^2=x^2+x^6-2x^4=x^2+o(x^3)$
cioè $(x-x^3)^2=x^2+x^6-2x^4=x^2+o(x^3)$
Scusa se sembro idiota ma fratto 6 e fratto 2 dove vanno?
Non dovrebbe essere $x^2/2+o(x^3)$
Non dovrebbe essere $x^2/2+o(x^3)$
no scusami tu
io ho scritto $(x-x^3)^2$ solo per fare un esempio per farti vedere cosa significa escludere i termini di grado superiore. Prova a finire tutto il limite. Posta un risultato. Altrimenti fai altre domande se non è chiaro e si cercherà di risponderti
io ho scritto $(x-x^3)^2$ solo per fare un esempio per farti vedere cosa significa escludere i termini di grado superiore. Prova a finire tutto il limite. Posta un risultato. Altrimenti fai altre domande se non è chiaro e si cercherà di risponderti
dovrebbe uscire 1/e giusto?
sisi anche a me esce lo stesso risultato
ok, ho dei problemi.
Il numeratore viene fuori $x^3+o(x^3)$
ma il denominatore? $e^cosx$ non devo svilupparlo?
Il numeratore viene fuori $x^3+o(x^3)$
ma il denominatore? $e^cosx$ non devo svilupparlo?
diciamo che non PUOI svilupparlo. Cioè tu non puoi dire $e^(cosx)=e^(1-x^2/2+o(x^2))=1+1-x^2/2$
L'ultima uguaglianza è FALSA. Ricordo che questi sviluppi sono stati calcolati con punto iniziale 0. Quindi ad esempio possiamo sviluppare $e^(f(x))=1+f(x)+...$ SOLO se f(x) tende a 0 e nel caso specifico cosx non sta tendendo a 0 ma a 1.
Chiedi se non sono chiaro.
L'ultima uguaglianza è FALSA. Ricordo che questi sviluppi sono stati calcolati con punto iniziale 0. Quindi ad esempio possiamo sviluppare $e^(f(x))=1+f(x)+...$ SOLO se f(x) tende a 0 e nel caso specifico cosx non sta tendendo a 0 ma a 1.
Chiedi se non sono chiaro.
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