Aiuto Esercizio Numeri complessi
Salve a tutti , avrei un problema con questo esercizio :
$ (z + 1)^3 = - i $
Vi riporto un mio tentativo di svolgimento :
$ (z + 1)=W $
$ W^3= -i $
$ W= i $
$ a=0 , b=1 $
$ ModW = 1 $
Poi mi trovo seno e coseno con le formule :
$ sinx = (Im)/(modW) , Cosx= (Re)/ (ModW) $
Trovo che L'angolo x è Pi/2
A questo punto uso le formule :
$ ArgW= x/n + 2kPi/n $
lo faccio per k =0 , 1, 2 e trovo 3 argomenti
che poi andrebbero portati nella forma esponenziale :
W= e^ix
( moltiplicato per il modulo di W che in questo caso è 1)
E a questi valori infine dovrei sottrarre 1 dato che
$ Z + 1 = W ; Z = W - 1 $
così trovo , sempre in forma esponenziale le tre radici di Z .
Questa è l'idea , ma non ne sono sicuro , ho un problema in generale con questo tipo di es.
Spero mi illuminiate , grazie in anticipo .
$ (z + 1)^3 = - i $
Vi riporto un mio tentativo di svolgimento :
$ (z + 1)=W $
$ W^3= -i $
$ W= i $
$ a=0 , b=1 $
$ ModW = 1 $
Poi mi trovo seno e coseno con le formule :
$ sinx = (Im)/(modW) , Cosx= (Re)/ (ModW) $
Trovo che L'angolo x è Pi/2
A questo punto uso le formule :
$ ArgW= x/n + 2kPi/n $
lo faccio per k =0 , 1, 2 e trovo 3 argomenti
che poi andrebbero portati nella forma esponenziale :
W= e^ix
( moltiplicato per il modulo di W che in questo caso è 1)
E a questi valori infine dovrei sottrarre 1 dato che
$ Z + 1 = W ; Z = W - 1 $
così trovo , sempre in forma esponenziale le tre radici di Z .
Questa è l'idea , ma non ne sono sicuro , ho un problema in generale con questo tipo di es.
Spero mi illuminiate , grazie in anticipo .
Risposte
Non è che si capisca bene l'idea....
Lo so scusami...devo riuscire a modificarlo in modo tale da renderlo comprensibile . Un attimo...xD
Ora si dovrebbe capire , spero !
Modo molto strano di procedere e, tra l'altro, errato (alla fine quali sono le soluzioni)? Ponendo $z+1=w$ sei ricondotto alla risoluzione di $w^3=-i$. Ora, puoi scrivere $-i=\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}$, da cui, applicando la nota regola
$$z^n=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)\ \Rightarrow\ z_k=\sqrt[n]{\rho}\left(\cos\frac{\theta+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\theta+2k\pi}{n}\right),\quad k=0,...,n-1$$
si ha
$$w_k=\cos\frac{3\pi/2+2k\pi}{3}+\sin\frac{3\pi/2+2k\pi}{3},\qquad k=0,1,2$$
Pertanto
$$z_k=w_k-1=-1+\cos\frac{3\pi/2+2k\pi}{3}+\sin\frac{3\pi/2+2k\pi}{3},\qquad k=0,1,2$$
Basta sostituire i valori di $k$ per trovare le tre soluzioni.
$$z^n=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)\ \Rightarrow\ z_k=\sqrt[n]{\rho}\left(\cos\frac{\theta+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\theta+2k\pi}{n}\right),\quad k=0,...,n-1$$
si ha
$$w_k=\cos\frac{3\pi/2+2k\pi}{3}+\sin\frac{3\pi/2+2k\pi}{3},\qquad k=0,1,2$$
Pertanto
$$z_k=w_k-1=-1+\cos\frac{3\pi/2+2k\pi}{3}+\sin\frac{3\pi/2+2k\pi}{3},\qquad k=0,1,2$$
Basta sostituire i valori di $k$ per trovare le tre soluzioni.
Non capisco...la formula di de moivre non si usa nei casi di potenze di numeri complessi?io qua sto cercando le radici di W e gli argomenti di W relativi a k= 0 , 1 , 2 per questo io ho usato le stesse formule che hai scritto tu , però non considerando l'angolo teta come : $ 3Pi/2 $
ma come $ Pi/2 $
perchè per quello che ho capito si moltiplica l'argomento per n quando si parla di potenza di un numero complesso , non di radice..infatti a me le soluzioni son venute diverse...
ma come $ Pi/2 $
perchè per quello che ho capito si moltiplica l'argomento per n quando si parla di potenza di un numero complesso , non di radice..infatti a me le soluzioni son venute diverse...
Allora: 1) il numero complesso $-i$ ha modulo $1$ e argomento $3\pi/2$: lo puoi vedere disegnando il punto $(0,-1)$ che gli corrisponde nel piano Cartesiano e osservando che trovandosi nella parte negativa dell'asse delle ordinate, l'argomento deve valere $-\pi/2=3\pi/2$;
2) quella che ho usato non è la formula di De Moivre, ma la sua "inversa", che serve e a determinare tutte le radici di un numero complesso. Riguarda la teoria, per favore. Altrimenti poi ti spiego come si perviene a tale formula.
Il risultato corretto è quello che ho scritto e, fidati, sono certo che sia così.
Tra l'altro, ti faccio presente che la formula che ho scritto usa "dividere" per $n$ gli argomenti, non moltiplicarli. Mi sa proprio che un ripassino di formule tu de lo debba fare.
2) quella che ho usato non è la formula di De Moivre, ma la sua "inversa", che serve e a determinare tutte le radici di un numero complesso. Riguarda la teoria, per favore. Altrimenti poi ti spiego come si perviene a tale formula.
Il risultato corretto è quello che ho scritto e, fidati, sono certo che sia così.
Tra l'altro, ti faccio presente che la formula che ho scritto usa "dividere" per $n$ gli argomenti, non moltiplicarli. Mi sa proprio che un ripassino di formule tu de lo debba fare.
Ahh . Ho capito , ho fatto una confusione enorme con le formule , e la cosa che mi ha portato a sbagliare è il fatto che ho considerato la radice cubica di $ -i = i $ .
Quindi ricapitolando pongo $ W = Z + 1 , W^3 = -i $
estraggo le radici cubiche di -i , numero complesso avente modulo 1 : $ sqrt(0^2 + 1^2) = 1 $
Quindi l'argomento sarà dato dai valori di coseno e seno rispettivamente : $ CosX = 0 ; SenX = - 1 $
Ed è qua che ho fatto l'errore più grande , infatti come mi hai suggerito l'argomento non è $ Pi/2 $
ma $ 3Pi/2 $ .
Ora uso la formula per estrarre le radici : $ Arg(W) = X/n + 2kPi/n = (3Pi/2)/n + 2kPi/n $
Mi viene : $ Arg(W) ( k=0) = Pi/2 $
$ Arg(W) ( K=1) = 7Pi/6 $
$ Arg(W) (k=2) = 11Pi/6 $
Quindi : $ W(0) = Cos(Pi/2) + iSen(Pi/2) = 1 $
$ W(1) = Cos(7Pi/6) + iSen(7Pi/6) = - sqrt(3)/2 - 1*i/2 $
$ W(2) = Cos(11Pi/6) + iSen(11Pi/6) = sqrt(3)/2 -1*i/2 $
Quindi : $ Z(0) = W(0) - 1 = 0 $
$ Z(1) = W(1) - 1= [ - sqrt(3) - 2]/2 - i/2 $
$ Z(2) = W(2) - 1 = [ sqrt(3) -2]/2 -i/2 $
Quindi ricapitolando pongo $ W = Z + 1 , W^3 = -i $
estraggo le radici cubiche di -i , numero complesso avente modulo 1 : $ sqrt(0^2 + 1^2) = 1 $
Quindi l'argomento sarà dato dai valori di coseno e seno rispettivamente : $ CosX = 0 ; SenX = - 1 $
Ed è qua che ho fatto l'errore più grande , infatti come mi hai suggerito l'argomento non è $ Pi/2 $
ma $ 3Pi/2 $ .
Ora uso la formula per estrarre le radici : $ Arg(W) = X/n + 2kPi/n = (3Pi/2)/n + 2kPi/n $
Mi viene : $ Arg(W) ( k=0) = Pi/2 $
$ Arg(W) ( K=1) = 7Pi/6 $
$ Arg(W) (k=2) = 11Pi/6 $
Quindi : $ W(0) = Cos(Pi/2) + iSen(Pi/2) = 1 $
$ W(1) = Cos(7Pi/6) + iSen(7Pi/6) = - sqrt(3)/2 - 1*i/2 $
$ W(2) = Cos(11Pi/6) + iSen(11Pi/6) = sqrt(3)/2 -1*i/2 $
Quindi : $ Z(0) = W(0) - 1 = 0 $
$ Z(1) = W(1) - 1= [ - sqrt(3) - 2]/2 - i/2 $
$ Z(2) = W(2) - 1 = [ sqrt(3) -2]/2 -i/2 $
Bene, tutto corretto.
Grazie mille ! Scusa una cosa ...
se io avessi considerato $ - Pi/2 $ invece che $ 3Pi/2 $
le soluzioni non dovrebbero cambiare giusto?
perchè ho provato e mi vengono diverse..
se io avessi considerato $ - Pi/2 $ invece che $ 3Pi/2 $
le soluzioni non dovrebbero cambiare giusto?
perchè ho provato e mi vengono diverse..
Magari in ordine, ma restano le stesse numericamente. I valori degli angoli al variare di $k$, se parti da $3\pi/2$ sono questi: $pi/2,\ 7\pi/6,\ 11\pi/6$, mentre se parti da $-\pi/2$ sono $-\pi/6,\ \pi/2,\ 7\pi/6$. Il primo della seconda serie coincide con l'ultimo della prima serie.
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