Aiuto esercizio convergenza serie di potenze

[Pablitos23]

E' la seguente:

$\sum_{n=1}^(+oo) ((-1)^n*nsqrt(n))/(1+n^2) x^n$

Ne devo studiare la convergenza semplice ed assoluta.
Quale strategia adottare? Liebnitz?

[Alegomind]

Ciao, calcola il raggio di convergenza applicando il criterio di Cauchy-Hadamard, sai che la serie converge totalmente ( e quindi anche uniformemente) in ogni intervallo $[-r+t;r+t]$ con r= raggio di convergenza e t valore reale con $t>0, t

Cita

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[Pablitos23]

$lim_(n->+oo) root(n) (((-1^n)*n*sqrt(n))/(1+n^2)) = -1 <0 $

Il che significa che non è convergente??

[Pablitos23]

Chiedo scusa il risultato è $1$ dato che si valuta $lim_(n->+oo)root(n) (|a_n|)$.

Quindi la serie converge e l'intervallo di convergenza è $[-1,1]$, dato che anche ai bordi converge.

[Alegomind]

Se hai correttamente verificato la convergenza agli estremi dell'intervallo di convergenza allora si, la serie converge ASSOLUTAMENTE (ricorda che stai studiando la convergenza assoluta a priori a causa del termine $(-1)^n$) nell'intervallo $[-1,1]$.

[Pablitos23]

Si l'ho studiata separatamente nel dettaglio agli estremi. Quindi la convergenza assoluta implica anche la convergenza semplice, ma non viceversa. Grazie mille