Aiuto esercizi limiti

[Gianni Trattore]

Buonasera, non riesco a risolvere i seguenti limiti:
$ lim_(x -> 4+) (sqrt(1+(sqrt(x)-2))-1)/(e^(x^2-16)-1) $
e
$ lim_(x -> 1) (xe^(tan(x-1))-e^ln(x))/ln(1+arcsin(x-1) $

Per il primo ho provato ad usare i limiti notevoli adatti per arrivare a:
$((sqrt(x)-2)/2)/(x^2-16)$ ma non so come continuare.

Per il secondo ho provato di nuovo con i limiti notevoli arrivando a:
$(xe^(x-1)-e^x)/(x-1)$ ma non trovo un modo per raccogliere le e in modo da avere un limite notevole

[pilloeffe]

Ciao Gianni Trattore,

Beh, nel primo porrei subito $t := sqrt{x} - 2 \implies x = (t + 2)^2 \implies x^2 - 16 = (t + 2)^4 - 16 = t(t + 4)(t^2 + 4t + 8) $
sicché poi si ha:

$ \lim_(x \to 4^+) (sqrt(1+(sqrt(x)-2))-1)/(e^(x^2-16)-1) = \lim_(t \to 0^+) (sqrt(1+ t)-1)/(e^{t(t + 4)(t^2 + 4t + 8)} - 1) = $
$ = \lim_(t \to 0^+) (sqrt(1+ t)-1)/t cdot (t(t + 4)(t^2 + 4t + 8))/(e^{t(t + 4)(t^2 + 4t + 8)} - 1) \cdot 1/((t + 4)(t^2 + 4t + 8)) = 1/2 \cdot \1 \cdot 1/32 = 1/64 $

Nel secondo invece comincerei con l'osservare che $e^{ln x} = x $ (che quindi si può raccogliere) e poi porrei $t := x - 1 \implies x = 1 + t $, ora prova a proseguire tu...

[Gianni Trattore]

Grazie!