Aiuto esercizi calcolo delle probabilità e statistica
ciao ragazzi questi sono degli esercizi che non riesco a risolvere...
qualcuno potrebbe aiutarmi nel risolvere?
Es.1
Consideriamo un gioco consistente in due fasi: si lancia un dado (D) e dal risultato si sceglie un urna di palline fra tre (U1, U2 e U3) da cui estrarre con ripetizione. In particolare si sceglie U1 se il dado D ≤ 3, si sceglie U2 se 3 < D ≥ 4, infine si sceglie U3 se 4 < D ≤ 6. La composizione delle urne è data dalla seguente tabella:
Urna Composizione
U1 6 bianche / 4 nere
U2 1 bianca / 9 nere
U3 3 bianche / 7 nere
a. Calcolare la probabilità di osservare in 2 estrazioni con ripetizioni 2 palline bianche;
b. Calcolare la probabilità che avendo osservato in 2 estrazioni con ripetizioni 2 palline nere sia stata scelta l’urna U1;
c. Calcolare la probabilità che avendo osservato in 2 estrazioni con ripetizioni 2 palline bianche non sia stata scelta l’urna U2;
d. Calcolare la probabilità che, essendo stata scelta l’urna U3, in 3 estrazioni con ripetizione la prima pallina bianca è osservata esattamente alla seconda estrazione;
Es.2
Si consideri la seguente funzione:
f(x)= {(cx^2 con 0≤x≥2 ,
0, altrimenti)
a. Determinare il valore della costante c affinchè f(x) sia una densità di probabilità;
b. Calcolare E[X] e V[X];
c. Calcolare la probabilità P(1
qualcuno potrebbe aiutarmi nel risolvere?
Es.1
Consideriamo un gioco consistente in due fasi: si lancia un dado (D) e dal risultato si sceglie un urna di palline fra tre (U1, U2 e U3) da cui estrarre con ripetizione. In particolare si sceglie U1 se il dado D ≤ 3, si sceglie U2 se 3 < D ≥ 4, infine si sceglie U3 se 4 < D ≤ 6. La composizione delle urne è data dalla seguente tabella:
Urna Composizione
U1 6 bianche / 4 nere
U2 1 bianca / 9 nere
U3 3 bianche / 7 nere
a. Calcolare la probabilità di osservare in 2 estrazioni con ripetizioni 2 palline bianche;
b. Calcolare la probabilità che avendo osservato in 2 estrazioni con ripetizioni 2 palline nere sia stata scelta l’urna U1;
c. Calcolare la probabilità che avendo osservato in 2 estrazioni con ripetizioni 2 palline bianche non sia stata scelta l’urna U2;
d. Calcolare la probabilità che, essendo stata scelta l’urna U3, in 3 estrazioni con ripetizione la prima pallina bianca è osservata esattamente alla seconda estrazione;
Es.2
Si consideri la seguente funzione:
f(x)= {(cx^2 con 0≤x≥2 ,
0, altrimenti)
a. Determinare il valore della costante c affinchè f(x) sia una densità di probabilità;
b. Calcolare E[X] e V[X];
c. Calcolare la probabilità P(1
Risposte
Esercizio 2) La funzione data è
Affinché essa risulti una densità di probabilità deve essere
Per la prima condizione, basta scegliere
e quindi
Per il valore atteso si ha
mentre per la varianza
Infine si ha
[math]P(1
[math]f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
cx^2 & & 0\leq x\leq 2\\ & & \\ 0 & & x2
\end{array}\right.[/math]
cx^2 & & 0\leq x\leq 2\\ & & \\ 0 & & x2
\end{array}\right.[/math]
Affinché essa risulti una densità di probabilità deve essere
[math]f(x)\geq 0,\ \forall\ x\in\mathbb{R}[/math]
[math]\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ dx=1[/math]
Per la prima condizione, basta scegliere
[math]c>0[/math]
, mentre per la seconda si ha[math]1=\int_{0}^2 cx^2\ dx=c\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\frac{8c}{3}[/math]
e quindi
[math]c=3/8[/math]
.Per il valore atteso si ha
[math]E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\ dx=\frac{3}{8}\int_0^2 x^3\ dx=\frac{3}{8}\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^2=\frac{3}{8}\cdot\frac{16}{4}=\frac{3}{2}[/math]
mentre per la varianza
[math]V(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}\left(x-\frac{3}{2}\right)^2 f(x)\ dx=
\frac{3}{8}\int_0^2\left(x^2-3x+\frac{9}{4}\right)x^2\ dx=\\
=\frac{3}{8}\int_0^2\left(x^4-3x^3+\frac{9x^2}{4}\right)\ dx=
\frac{3}{8}\left[\frac{x^5}{5}-\frac{3x^4}{4}+\frac{3x^3}{4}\right]_0^2=\\
=\frac{3}{8}\left(\frac{32}{5}-\frac{48}{4}+\frac{24}{4}\right)=\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{5}=\frac{3}{20}[/math]
\frac{3}{8}\int_0^2\left(x^2-3x+\frac{9}{4}\right)x^2\ dx=\\
=\frac{3}{8}\int_0^2\left(x^4-3x^3+\frac{9x^2}{4}\right)\ dx=
\frac{3}{8}\left[\frac{x^5}{5}-\frac{3x^4}{4}+\frac{3x^3}{4}\right]_0^2=\\
=\frac{3}{8}\left(\frac{32}{5}-\frac{48}{4}+\frac{24}{4}\right)=\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{5}=\frac{3}{20}[/math]
Infine si ha
[math]P(1
Ciao,
proviamo a fare l'esercizio 1. Prima di tutto dovresti calcolare le probabilità delle urne U(1), U(2) e U(3). Fatto questo andiamo avanti.
Aggiunto 2 ore 47 minuti più tardi:
Perfetto. A questo punto definiamo con
A = estrazione di due palline bianche (con ripetizione)
L'evento A ti è dato se:
"oppure"
"oppure"
La congiunzione "e" in probabilità di da un prodotto mentre "o" una somma (il più delle volte, a meno che tu non abbia insiemi non disgiunti).
In sostanza
A questo punto basta calcolare le tre probabilità. Prova a farlo e vediamo se risolvi.
Aggiunto 23 ore 1 minuti più tardi:
Hai scritto tre volte la stessa risposta.
Comunque sia, ti aiuto per questo punto. Abbiamo visto che
In particolare
Prova tu a calcolare le rimanenti due probabilità, ricordandoti che la prova è con reimmissione.
Aggiunto 3 ore 4 minuti più tardi:
Perfetto!Quindi la probabilità richiesta è data dalla somma delle tre che hai calcolato.
Passiamo al punto b, ovvero calcolare la probabilità che avendo osservato in 2 estrazioni con ripetizioni 2 palline nere sia stata scelta l’urna U1.
Definiamo l'evento
Adesso sai che sono uscite due palline nere, quindi hai un'informazione per cui devi applicare la probabilità condizionate. In sostanza devi trovare
Il numeratore è semplice, ti dice qual è la probabilità che prendi l'urna U1 e peschi due palline nere. Il denominatore vuole sapere la probabilità di prendere due palline nere ed è la stessa cosa che hai fatto nel punto a. Fammi sapere cosa trovi.
Aggiunto 10 ore 4 minuti più tardi:
Ti stai un pò perdendo, cmq non ti preoccupare. Calcoliamo prima di tutto il numeratore, ovvero P(U1 "e" B). Devi selezionare l'urna U1 (p=1/2) e pescere due palline nere (4/10 * 4/10), quindi
Per quanto riguarda la probabilità di B, ovvero di due palline nere, devi fare esattamente come per il punto a nel caso di due palline bianche. Quindi non devi limitarti solo all'urna U1 (cosa che fai al numeratore), ma devi considerarle tutte e tre. Quindi
Il rapporto tra le due probabilità sopra indicate di permette di avere
Chiaro adesso il punto b?
Aggiunto 1 secondi più tardi:
Ti stai un pò perdendo, cmq non ti preoccupare. Calcoliamo prima di tutto il numeratore, ovvero P(U1 "e" B). Devi selezionare l'urna U1 (p=1/2) e pescere due palline nere (4/10 * 4/10), quindi
Per quanto riguarda la probabilità di B, ovvero di due palline nere, devi fare esattamente come per il punto a nel caso di due palline bianche. Quindi non devi limitarti solo all'urna U1 (cosa che fai al numeratore), ma devi considerarle tutte e tre. Quindi
Il rapporto tra le due probabilità sopra indicate di permette di avere
Chiaro adesso il punto b?
Per il terzo punto la soluzione è semplice. Il testo dice: calcolare la probabilità che avendo osservato in 2 estrazioni con ripetizioni 2 palline bianche BB non sia stata scelta l’urna U2.
Calcolati la probabilità che l'urna selezionata sia U2, ovvero
A questo punto la probabilità dell'evento complementare
Per il punto d. Sai con certezza che l'urna selezionata è la terza. Ora ti devi chiedere, quali sono le combinazioni favorevoli al mio evento ovvero che la prima pallina bianca deve stare alla seconda posizione?
Sicuramente la prima dovrà essere nera "e" la seconda dovrà essere bianca. Per quanto riguarda la terza questa è indifferente, potrà essere nera o bianca. Quindi, per risolvere l'esercizio basta che ti calcoli
considerando che l'urna è quella U3. Al medesimo risultato giungerai se consideri anche i possibili valori della terza pallina: i casi favorevoli sono
Fammi sapere se è tutto ok. Con questo il primo è concluso. Evito di farti i conti in modo che tu capisca meglio le cose, in fondo l'esercizio serve a te :).
proviamo a fare l'esercizio 1. Prima di tutto dovresti calcolare le probabilità delle urne U(1), U(2) e U(3). Fatto questo andiamo avanti.
Aggiunto 2 ore 47 minuti più tardi:
Perfetto. A questo punto definiamo con
A = estrazione di due palline bianche (con ripetizione)
L'evento A ti è dato se:
[math]A_{1}[/math]
: scegli l'urna U1 "e" escono due palline bianche"oppure"
[math]A_{2}[/math]
: scegli l'urna U2 "e" escono due palline bianche"oppure"
[math]A_{3}[/math]
: scegli l'urna U3 "e" escono due palline biancheLa congiunzione "e" in probabilità di da un prodotto mentre "o" una somma (il più delle volte, a meno che tu non abbia insiemi non disgiunti).
In sostanza
[math]
P(A) = P(A_{1}) + P(A_{2}) + P(A_{3})
[/math]
P(A) = P(A_{1}) + P(A_{2}) + P(A_{3})
[/math]
A questo punto basta calcolare le tre probabilità. Prova a farlo e vediamo se risolvi.
Aggiunto 23 ore 1 minuti più tardi:
Hai scritto tre volte la stessa risposta.
Comunque sia, ti aiuto per questo punto. Abbiamo visto che
[math]P(A)=P(A_{1})+P(A_{2})+P(A_{3})[/math]
In particolare
[math]P(A_{1})[/math]
sarebbe la probabilità di prendere l'urna U1 ([math]p=1/2[/math]
) "e" peschi due palline bianche ([math]6/10\cdot6/10[/math]
). Quindi[math]P(A_{1})=1/2\cdot(6/10)^{2}[/math]
Prova tu a calcolare le rimanenti due probabilità, ricordandoti che la prova è con reimmissione.
Aggiunto 3 ore 4 minuti più tardi:
Perfetto!Quindi la probabilità richiesta è data dalla somma delle tre che hai calcolato.
Passiamo al punto b, ovvero calcolare la probabilità che avendo osservato in 2 estrazioni con ripetizioni 2 palline nere sia stata scelta l’urna U1.
Definiamo l'evento
[math]B=[/math]
escono due palline nere NNAdesso sai che sono uscite due palline nere, quindi hai un'informazione per cui devi applicare la probabilità condizionate. In sostanza devi trovare
[math]P(U_{1}|B)[/math]
, dove[math]P(U_{1}|B)=\frac{P(U_{1} "e" B)}{P(B)}[/math]
Il numeratore è semplice, ti dice qual è la probabilità che prendi l'urna U1 e peschi due palline nere. Il denominatore vuole sapere la probabilità di prendere due palline nere ed è la stessa cosa che hai fatto nel punto a. Fammi sapere cosa trovi.
Aggiunto 10 ore 4 minuti più tardi:
Ti stai un pò perdendo, cmq non ti preoccupare. Calcoliamo prima di tutto il numeratore, ovvero P(U1 "e" B). Devi selezionare l'urna U1 (p=1/2) e pescere due palline nere (4/10 * 4/10), quindi
[math]P(U1 "e" B) = 1/2\cdot(4/10)^{2}[/math]
Per quanto riguarda la probabilità di B, ovvero di due palline nere, devi fare esattamente come per il punto a nel caso di due palline bianche. Quindi non devi limitarti solo all'urna U1 (cosa che fai al numeratore), ma devi considerarle tutte e tre. Quindi
[math]P(B) = 1/2\cdot(4/10)^{2} + 1/6\cdot(9/10)^{2} + 1/3\cdot(7/10)^{2}[/math]
Il rapporto tra le due probabilità sopra indicate di permette di avere
[math]P(U1 | B) = P(U1 "e" B) / P(B)[/math]
Chiaro adesso il punto b?
Aggiunto 1 secondi più tardi:
Ti stai un pò perdendo, cmq non ti preoccupare. Calcoliamo prima di tutto il numeratore, ovvero P(U1 "e" B). Devi selezionare l'urna U1 (p=1/2) e pescere due palline nere (4/10 * 4/10), quindi
[math]P(U1 "e" B) = 1/2\cdot(4/10)^{2}[/math]
Per quanto riguarda la probabilità di B, ovvero di due palline nere, devi fare esattamente come per il punto a nel caso di due palline bianche. Quindi non devi limitarti solo all'urna U1 (cosa che fai al numeratore), ma devi considerarle tutte e tre. Quindi
[math]P(B) = 1/2\cdot(4/10)^{2} + 1/6\cdot(9/10)^{2} + 1/3\cdot(7/10)^{2}[/math]
Il rapporto tra le due probabilità sopra indicate di permette di avere
[math]P(U1 | B) = P(U1 "e" B) / P(B)[/math]
Chiaro adesso il punto b?
Per il terzo punto la soluzione è semplice. Il testo dice: calcolare la probabilità che avendo osservato in 2 estrazioni con ripetizioni 2 palline bianche BB non sia stata scelta l’urna U2.
Calcolati la probabilità che l'urna selezionata sia U2, ovvero
[math]P(U_{2}|bb)=\frac{P(U_{2} "e" bb)}{P(bb)}[/math]
A questo punto la probabilità dell'evento complementare
[math]1-P(U_{2}|bb)[/math]
ti permette di calcolare la probabilità che non sia stata selezionata l'urna U2.Per il punto d. Sai con certezza che l'urna selezionata è la terza. Ora ti devi chiedere, quali sono le combinazioni favorevoli al mio evento ovvero che la prima pallina bianca deve stare alla seconda posizione?
Sicuramente la prima dovrà essere nera "e" la seconda dovrà essere bianca. Per quanto riguarda la terza questa è indifferente, potrà essere nera o bianca. Quindi, per risolvere l'esercizio basta che ti calcoli
[math]P(nb)[/math]
=P(prima nera "e" seconda bianca)considerando che l'urna è quella U3. Al medesimo risultato giungerai se consideri anche i possibili valori della terza pallina: i casi favorevoli sono
[math]P(nbn "o" nbb) = P(nbn) + P(nbb)[/math]
Fammi sapere se è tutto ok. Con questo il primo è concluso. Evito di farti i conti in modo che tu capisca meglio le cose, in fondo l'esercizio serve a te :).
caro ciampax, sei sempre il migliore
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