Aiuto equazione differenziale

[pannaSmontata1]

Ciao a tutti

mi trovo a dover calcolare la seguente equazione differenziale

[tex]1 +xy=(x^{2}+x^{3}y)y'[/tex]

con $x>0$

ho provato a risolverla facendo la sostituzione $v = y/x$ che mi ha portato ad avere

[tex]1 = (x^{3} + x^{5} v)v'+x^{4}v^{2}[/tex]

speravo mi desse la possibilità di separare le variabili, ma arrivato a questo punto mi blocco

Qualcuno saprebbe suggerirmi un metodo valido?

[Quinzio]

$1+xy=(1+xy)x^2y'$

$1=x^2y'$

[gugo82]

@Quinzio: La semplificazione è fatta un po' a cuor leggero...

In altri termini, con un po' d'algebra si riesce a riscrivere la EDO come:
\[
(1+x\ y)\ (x^2\ y^\prime -1) = 0\; ,
\]
quindi le soluzioni sono tutte e sole le funzioni \(y(x)\) tali che \(x\ y(x)=1\) oppure \(x^2\ y^\prime (x)=1\).
Dalla prima equazione si ricava che la funzione \(\bar{y}(x) :=-1/x\) è certamente una soluzione della EDO (una soluzione singolare).
Dalla seconda si ricava \(y(x)=-\frac{1}{x}+C\), famiglia che comprende la soluzione singolare \(\bar{y}\) (si ottiene per \(C=0\)).

Quindi l'integrale generale della EDO è \(y(x)=-\frac{1}{x} +C\).

[pannaSmontata1]

Gasp effettivamente avrei potuto accorgermene...

Grazie Quinzio e Gugo