Aiuto equazione differenziale

[lolopo1]

Dovrei risolvere questa equazione differenziale

Qualcuno potrebbe aiutarmi gentilmente ?

$ y''(t)-y'(t)-2y(t)=t^2-t $

Credo che sia di secondo ordine non omogenea e si debba risolvere col metodo di variazione delle costanti . giusto ?

[StellaMartensitica]

$\lambda^2-\lambda-2=0$

$\lambda=(1+-sqrt(1+8))/2=(1+-3)/2$

$\lambda=2vv\lambada=-1$

$y_0=H*e^(-t)+K*e^(2t)$

$H,K in RR$

Adessk trova con il metodo di somiglianza (tabella) una soluzione particolare dell'equazione completa, lo sommi ad $y_0$ ed hai risolto.

[lolopo1]

$ Y0=C1e^-t+c2e^(2t) $

cosi ?

ora pero mi blocco sul sistema

lo imposto cosi ?


$ { ( C'{::}_(\ \ 1)^() text()(t)e^-x+C'{::}_(\ \ 2)^() text()e^(2t)=0 ),(C'{::}_(\ \ 1)^() text()(t)-e^-x+C'{::}_(\ \ 2)^() text()2e^(2t)=t^2-t ):} $

[dissonance]

"SirDanielFortesque":$lambada=-1$

https://youtu.be/iyLdoQGBchQ

[lolopo1]

ora pero mi blocco sul sistema

lo imposto cosi ?


$ { ( C'{::}_(\ \ 1)^() text()(t)e^-x+C'{::}_(\ \ 2)^() text()e^(2t)=0 ),(C'{::}_(\ \ 1)^() text()(t)-e^-x+C'{::}_(\ \ 2)^() text()2e^(2t)=t^2-t ):} $

[StellaMartensitica]

lolopo non capisco cosa vuoi fare con quel sistema.


Tu prendi la generica funzione dalla tabella delle "somiglianze" che in questo caso è:

$y"*"$ wy star

o più preferibilmente "uai star"

con

$y"*"=A*t^2+Bt+C$

e hai

$y"*"'=2At+B$

$y"*"''=2A$

E vai a sostituire nell'equazione iniziale:
$ y''(t)-y'(t)-2y(t)=t^2-t $

$2A-2At-B-2At^2-2Bt-2C=t^2-t$

$-2At^2+(-2B-2A)*t+2A-B-2C=t^2-t+0$

$\{(-2A=1),(-2B-2A=-1),(2A-B-2C=0):}$

Da cui hai

$\{(A=-1/2),(B=1),(C=-1):}$

quindi

$y"*"=-1/2t^2+t-1$

La teoria ti garantisce che la soluzione generale è:

$y=y_0+y"*"$

$y=H*e^(-t)+K*e^(2t) -1/2t^2+t-1$

Okkk?

[ot]@dissonance

Tira già aria di balera...[/ot]

[lolopo1]

Molto esaustivo e chiaro nella spiegazione
Ti ringrazio veramente tanto per l aiuto che mi hai dato

[StellaMartensitica]

Grazie sono contento che l'hai trovata chiara dato che le sto studiando anch'io ciao!

[StellaMartensitica]

"lolopo":ora pero mi blocco sul sistema lo imposto cosi ?

Forse ho capito cosa volevi/dovevi fare.

Però sinceramente non era chiaro.

Quando hai la generica

$ay''+by'+cy=f(t)$

Puoi ricondurti, effettivamente, al sistema. Ma non in quel modo.

imponi
$y_1=y$
$y_2=y'$

quindi hai:

$y=[[y_1],[y_2]]$

$A=[[0,1],[-c/a,-b/a]]$

$f(t)=[[0],[1/a*f(t)]]$

Ed hai il sistema:

$y'=Ay+f(t)$

Ma dato che ormai l'hai risolta con il metodo di somiglianza non ci farei altro.

Ciao.