Aiuto equazione con numeri complessi

[cntntn]

dovrei risolvere la seguente equazione... ci sbatto la testa da un pò, ma non sono arrivato a nessuna consclusione concreta.

\(\displaystyle z^3 + 6i z^2 - 12z - 4(3i+ \sqrt{3}) = 0 \)

a trovare le radici sono capace, ma come faccio ad arrivare fino a quel punto?

grazie a tutti per le risposte

[Palliit]

"cntntn":posso fare:
\(\displaystyle z^5 = |z|^5 \Leftrightarrow z = |z| \) ??

...assolutamente no!
Prova a mettere nell'equazione: $z=rho(cos \theta + i \sin \theta)$__$rightarrow$__$z^5=rho^5(cos 5\theta + i \sin 5\theta)$, e via di seguito...

[cntntn]

scusa ma non ho mai fatto esercizi di questo tipo... potresti darmi una mano?

io arrivo al punto \(\displaystyle \rho^5(cos(5\theta) +i sin(5\theta))-\rho^5 = 0 \)

e fino a qui ci sono... ma poi come vado avanti?
se scrivo \(\displaystyle \rho^5(cos(5\theta) +i sin(5\theta)) \) in forma esponenziale, poi cosa ci faccio con l'altro \(\displaystyle \rho^5 \) ?

[Seneca1]

$\rho^5 e^(i 5 \theta) = \rho^5 $ $\iff$ $e^(i 5 \theta) = 1 $ $\iff$ ...

[Palliit]

Oppure, alternativa equivalente: [tex]\left\{\begin{matrix}
\sin 5\theta=0\\

\cos 5\theta=1\end{matrix}\right.[/tex].

[cntntn]

se invece faccio:
$\rho^5 e^(i 5 \theta + 2k \pi) = \rho^5 e^(i 0) $

quindi \(\displaystyle \rho \geq 0 \) e \(\displaystyle \theta = -(2/5) k \pi \) e dunque 5 valori diversi di k

ma in realtà, dato che il modulo può essere un qualsiasi numero maggiore o uguale di zero, l'equazione ammette infinite soluzioni?

[Palliit]

Sì, tutte le radici quinte di ogni numero reale non negativo.

[cntntn]

cosa mi consigliate di fare invece quando mi trovo di fronte a problemi tipo questo:

\(\displaystyle |z^3 - i| = |\bar{z}^3 + 1| \)\(\displaystyle \)

come faccio ad avviare al fatto che non posso "liberarmi del modulo", e quindi devo svolgere sia potenze che somme?

[Palliit]

Personalmente sostituirei $u=z^3$, poi metterei $u$ in forma algebrica : $u=x+iy$ , e andrei avanti coi conti.