Aiuto equazione con numeri complessi

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12 set 2012, 00:23

dovrei risolvere la seguente equazione... ci sbatto la testa da un pò, ma non sono arrivato a nessuna consclusione concreta.

$\displaystyle z^3 + 6i z^2 - 12z - 4(3i+ \sqrt{3}) = 0 $

a trovare le radici sono capace, ma come faccio ad arrivare fino a quel punto?

grazie a tutti per le risposte

Risposte

Sk_Anonymous

11 set 2012, 22:25

"cntntn":
[...]
a trovare le radici sono capace, ma come faccio ad arrivare fino a quel punto?
[...]

Stai dicendo che sai come trovare le radici ma non come arrivare a trovarle (e che significherebbe?) ? Puoi chiarire la richiesta, per favore?

cntntn

11 set 2012, 22:40

esatto... so che sembra strano... forse mi faccio solo prendere dal panico perchè ci sono le i...
quello che volevo dire è che se voglio trovare le radici cubiche di un numero, so trovarle...

praticamente questo non riesco a scomporlo in fattori, sempre che sia questa la strada giusta da seguire

lordb

11 set 2012, 22:43

"cntntn":

$\displaystyle z^3 + 6i z^2 - 12z - 4(3i+ \sqrt{3}) = 0 $

Sicuro che sia proprio questo ? Perchè mi sembra dura non utilizzare le formule risolutive per le equazioni di terzo grado.

cntntn

11 set 2012, 22:48

in realtà nell'esercizio originale è scritta come:
$\displaystyle z^3 + 6iz^2 -12z - 8i = 4 \sqrt{3} +4i $

ma dovrebbe essere la stessa cosa...
quindi l'unica via è la formula risolutiva?

Sk_Anonymous

11 set 2012, 22:52

"cntntn":
[...]
quindi l'unica via è la formula risolutiva?

Sì.

cntntn

11 set 2012, 22:54

allora ecco spiegato perchè non riuscivo ad arrivare da nessuna parte

grazie

Palliit

12 set 2012, 07:23

Ciao.

"cntntn":
$\displaystyle z^3 + 6iz^2 -12z - 8i = 4 \sqrt{3} +4i $
...quindi l'unica via è la formula risolutiva?

No: se guardi attentamente il primo membro dell'equazione, ti accorgi che è il cubo di un binomio, il che rende la risoluzione banale.

cntntn

12 set 2012, 11:40

hai ragione, solo che adesso mi sono bloccato in un'altro punto
scomponendo l'equazione si ha:

$\displaystyle (z + 2i)^3 = 4 \sqrt{3} + 4i $

il numero complesso al secondo membro ha modulo 2 e argomento $\displaystyle \pi / 6$

adesso dovrei sviluppare $\displaystyle z^3 $ per arrivare alle soluzioni, ma come faccio, dato che al cubo c'è anche 2i ?

poncelet

12 set 2012, 11:47

Cosa intendi per sviluppare $z^{3]$? In realtà ti basta calcolare le tre radici cubiche di $4\sqrt{3}+4i$ ed uguagliarle una ad una a $z+2i$ per ottenere le tre radici dell'equazione.

Sk_Anonymous

12 set 2012, 11:48

Giusta la segnalazione di Palliit. Adesso dovresti passare a radice cubica entrambi i membri, ossia \[\displaystyle (z+2i)^3 = 4\sqrt{3} + 4i \] diventa (con abuso di notazione) \[\displaystyle z+2i=\sqrt[3]{4\sqrt{3} + 4i} \]

cntntn

12 set 2012, 12:50

"maxsiviero":
Cosa intendi per sviluppare $z^{3]$? In realtà ti basta calcolare le tre radici cubiche di $4\sqrt{3}+4i$ ed uguagliarle una ad una a $z+2i$ per ottenere le tre radici dell'equazione.

perfetto, grazie mille, mi avete chiarito molti dubbi