Aiuto Equazione Complessa
Salve a tutti , mi scuso per la banalità dell'argomento ma ho dei punti oscuri riguardanti la soluzione di un equazione complessa della tipologia sottostante :
$ (|z|^2+|z|-6)*(z+z^*)*(z^3+27)*(|z|+i)=0 $ dove $ z^* $ é il complesso coniugato di z ;
davanti ad una cosa del genere io so che si devono risolvere 4 equazioni complesse distinte... , ed è qui che ho problemi..
- $ (|z|^2+|z|-6) = 0 $
so che $ |z| $ è il modulo di z ma non so se sostituirlo con la relazione $ |z| = sqrt( a^2+b^2) $ o far altro..
- $ (z+z^*) $
lo risolvo per sostituzione : $ z=a+ib $ e $ z^*=a-ib $ , quindi faccio il sistema tra la parte reale e immaginaria e mi accorgo che mi rimane la sola parte reale... mi chiedevo se fosse corretto
- $ (z^3+27)=0 $
anche in questo caso ottengo un numero complesso di sola parte reale , e per questo ho il dubbio se sia esatto o meno
ed infine...
- $ (z^*+i)=0 $
dove ponendo $ z^*=a-ib $ ottengo il solito sistema tra parte reale e immaginaria...
volevo chiedervi in sostanza come si imposti il 1 punto e se gli altri 3 punti siano impostati correttamente...
grazie mille per l'aiuto
$ (|z|^2+|z|-6)*(z+z^*)*(z^3+27)*(|z|+i)=0 $ dove $ z^* $ é il complesso coniugato di z ;
davanti ad una cosa del genere io so che si devono risolvere 4 equazioni complesse distinte... , ed è qui che ho problemi..
- $ (|z|^2+|z|-6) = 0 $
so che $ |z| $ è il modulo di z ma non so se sostituirlo con la relazione $ |z| = sqrt( a^2+b^2) $ o far altro..
- $ (z+z^*) $
lo risolvo per sostituzione : $ z=a+ib $ e $ z^*=a-ib $ , quindi faccio il sistema tra la parte reale e immaginaria e mi accorgo che mi rimane la sola parte reale... mi chiedevo se fosse corretto
- $ (z^3+27)=0 $
anche in questo caso ottengo un numero complesso di sola parte reale , e per questo ho il dubbio se sia esatto o meno
ed infine...
- $ (z^*+i)=0 $
dove ponendo $ z^*=a-ib $ ottengo il solito sistema tra parte reale e immaginaria...
volevo chiedervi in sostanza come si imposti il 1 punto e se gli altri 3 punti siano impostati correttamente...
grazie mille per l'aiuto
Risposte
Strano che utilizzi la rappresentazione $z^\cdot$ per il coniugato. In genere è $\bar(z)$... insolito!
Comunque (secondo me).
1.
Potresti porre $|z|=t$ (che tra l'altro è reale!) e avresti da risolvere un'equazione usuale di secondo grado.
Per la soluzione, attenzione: se ti capitano soluzioni immaginarie (per $t$, ma non mi pare questo il caso) o reali negative, queste sono da scartare perché il modulo, per definizione, è un numero reale positivo.
Comunque troveresti, ad esempio, $t=t_1 \in \RR$ cioè $|z|=t_1$ che vuol dire che la soluzione è data da tutti quei complessi che in modulo sono $t_1$.
2.
E' corretto perché le parti immaginarie (essendo opposte) si elidono. Alla fine un numero reale non è altro che un immaginario con parte immaginaria nulla...
3.
$z^3+27=(z+3)\cdot (z^2-3z+9)$ che, posto uguale a zero, da una soluzione reale e altre 2 complesse (coniugate se non erro)...
4.
Puoi "accorciare" dicendo $\bar(z)=-i$, per poi dire "qual è il numero complesso il cui coniugato è $-i$?
EDIT.
Ora che rileggo, per la 4, l'equazione è $\bar(z)+i=0$ oppure $|z|+i=0$? Se fosse la seconda le cose sarebbero decisamente diverse...
Comunque (secondo me).
1.
Potresti porre $|z|=t$ (che tra l'altro è reale!) e avresti da risolvere un'equazione usuale di secondo grado.
Per la soluzione, attenzione: se ti capitano soluzioni immaginarie (per $t$, ma non mi pare questo il caso) o reali negative, queste sono da scartare perché il modulo, per definizione, è un numero reale positivo.
Comunque troveresti, ad esempio, $t=t_1 \in \RR$ cioè $|z|=t_1$ che vuol dire che la soluzione è data da tutti quei complessi che in modulo sono $t_1$.
2.
E' corretto perché le parti immaginarie (essendo opposte) si elidono. Alla fine un numero reale non è altro che un immaginario con parte immaginaria nulla...
3.
$z^3+27=(z+3)\cdot (z^2-3z+9)$ che, posto uguale a zero, da una soluzione reale e altre 2 complesse (coniugate se non erro)...
4.
Puoi "accorciare" dicendo $\bar(z)=-i$, per poi dire "qual è il numero complesso il cui coniugato è $-i$?
EDIT.
Ora che rileggo, per la 4, l'equazione è $\bar(z)+i=0$ oppure $|z|+i=0$? Se fosse la seconda le cose sarebbero decisamente diverse...
ehm, per l'insolita rappresentazione del coniugato ti confesso che l'ho scritta cosi perchè non trovavo il comando per quel simbolo e cercavo di scriverlo " z^* " =D
per il punto 4 : no no tranquillo , è corretta la traccia come l'ho riportata , quindi $ (z+i) $ =)
perfetto , davvero esauriente.. =) grazie !
per il punto 4 : no no tranquillo , è corretta la traccia come l'ho riportata , quindi $ (z+i) $ =)
perfetto , davvero esauriente.. =) grazie !
Scrivendo "\bar(z)" tra simboli di dollaro, ottieni $\bar(z)$. 
[size=85]L'ho imparato sull'equation editor di word 2007, ma vale anche nel latex.
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[size=85]L'ho imparato sull'equation editor di word 2007, ma vale anche nel latex.
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