Aiuto elemento d'area dS!!

[gabry8719]

Non riesco a capire come si trova l'elemento d'area dS dell'esercizio 7 del tema 3 del seguente pdf:
http://www1.mate.polimi.it/~bramanti/corsi/appello1_2010_analisi2.pdf
Inoltre non riesco a capire come si trova la n e la dS dell'esercizio 4 del tema 2 del seguente pdf:
http://www1.mate.polimi.it/~bramanti/corsi/ITIN2010_2_270.pdf


Spero in un vostro aiuto, grazie mille!!

[ciampax]

E' solo una questione di applicazione delle formule. Se indichi con

[math]\mathbf{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))[/math]

il vettore generico di parametrizzazione della superficie, ottieni

[math]\mathbf{r}_u=(x_u,y_u,z_u),\qquad \mathbf{r}_v=(x_v,y_v,z_v)[/math]

e

[math]E==x_u^2+y_u^2+z_u^2\\ G==x_v^2+y_v^2+z_v^2\\ F==x_u x_v+y_u y_v+z_u z_v[/math]

e si ha, se

[math]\mathbf{r}: D\to \Omega[/math]

[math]\int_{\Omega} f(x,y,z)\ dS=\int_D f(\mathbf{r}(u,v))\ \sqrt{EG-F^2}\ du\ dv[/math]

Inoltre per determinare il versore normale basta calcolare il vettore normale

[math]\mathbf{N}(u,v)=\mathbf{r}_u\wedge\mathbf{r}_v=\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ x_u & y_u & z_u\\ x_v & y_v & z_v
\end{array}\right|=\\
=(y_u z_v-y_v z_u)\mathbf{i}+(x_v z_u-x_u z_v)\mathbf{j}+(x_u y_v-x_v y_v)\mathbf{k}[/math]

e si ha

[math]\mathbf{n}(u,v)=\frac{1}{|\mathbf{N}(u,v)|}\cdot \mathbf{N}(u,v)=
\frac{1}{\sqrt{EG-F^2}}\cdot\mathbf{N}(u,v)[/math]

e l'integrale di flusso di un campo vettoriale

[math]\mathbf{F} : D\to\mathbb{R}^3[/math]

attraverso la superficie

[math]\Omega[/math]

è

[math]\Phi(\mathbf{F})_\Omega=\int_D \ \sqrt{EG-F^2}\ du\ dv[/math]

Nel primo esercizio hai

[math]\mathbf{r}(\theta,\phi)=((R+r\cos\phi)\cos\theta,(R+r\cos\phi)\sin\theta,r\sin\phi)[/math]

da cui

[math]\mathbf{r}_\theta=(-(R+r\cos\phi)\sin\theta,\ (R+r\cos\phi)\cos\theta,\ 0)\\
\mathbf{r}_\phi=(-r\sin\phi\cos\theta,\ -r\sin\phi\sin\theta,\ r\cos\phi)[/math]

e quindi

[math]E=(R+r\cos\phi)^2\sin^2\theta+(R+r\cos\phi)^2\cos^2\theta=(R+r\cos\phi)^2\\
G=r^2\sin^2\theta\sin^2\phi+r^2\cos^2\theta\sin^2\phi+r^2\cos^2\phi=r^2\sin^2\phi+r^2\cos^2\phi=r^2\\
F=r\sin\phi\sin\theta\cos\theta(R+r\cos\phi)-r\sin\phi\sin\theta\cos\theta(R+r\cos\phi)=0[/math]

da cui

[math]\sqrt{EG-F^2}=\sqrt{r^2(R+r\cos\phi)^2}=r(R+r\cos\phi)[/math]

Nel secondo esercizio invece

[math]\mathbf{r}(\theta,t)=(2\cos\theta,2\sin\theta,t)[/math]

da cui

[math]\mathbf{r}_\theta=(-2\sin\theta,2\cos\theta,0),\qquad \mathbf{r}_t=(0,0,1)[/math]

e quindi

[math]E=4\sin^2\theta+4\cos^2\theta=4,\qquad F=0,\qquad G=1\qquad \sqrt{EG-F^2}=2[/math]

[math]\mathbf{N}(\theta,t)=\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2\sin\theta & 2\cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1
\end{array}\right|=(2\cos\theta,\ 2\sin\theta,\ 0)[/math]

e

[math]\mathbf{n}(\theta,t)=\frac{1}{2} (2\cos\theta,\ 2\sin\theta,\ 0)=(\cos\theta,\ \sin\theta,\ 0)[/math]

[

Aggiunto 9 secondi più tardi:

E' solo una questione di applicazione delle formule. Se indichi con

[math]\mathbf{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))[/math]

il vettore generico di parametrizzazione della superficie, ottieni

[math]\mathbf{r}_u=(x_u,y_u,z_u),\qquad \mathbf{r}_v=(x_v,y_v,z_v)[/math]

e

[math]E==x_u^2+y_u^2+z_u^2\\ G==x_v^2+y_v^2+z_v^2\\ F==x_u x_v+y_u y_v+z_u z_v[/math]

e si ha, se

[math]\mathbf{r}: D\to \Omega[/math]

[math]\int_{\Omega} f(x,y,z)\ dS=\int_D f(\mathbf{r}(u,v))\ \sqrt{EG-F^2}\ du\ dv[/math]

Inoltre per determinare il versore normale basta calcolare il vettore normale

[math]\mathbf{N}(u,v)=\mathbf{r}_u\wedge\mathbf{r}_v=\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ x_u & y_u & z_u\\ x_v & y_v & z_v
\end{array}\right|=\\
=(y_u z_v-y_v z_u)\mathbf{i}+(x_v z_u-x_u z_v)\mathbf{j}+(x_u y_v-x_v y_v)\mathbf{k}[/math]

e si ha

[math]\mathbf{n}(u,v)=\frac{1}{|\mathbf{N}(u,v)|}\cdot \mathbf{N}(u,v)=
\frac{1}{\sqrt{EG-F^2}}\cdot\mathbf{N}(u,v)[/math]

e l'integrale di flusso di un campo vettoriale

[math]\mathbf{F} : D\to\mathbb{R}^3[/math]

attraverso la superficie

[math]\Omega[/math]

è

[math]\Phi(\mathbf{F})_\Omega=\int_D \ \sqrt{EG-F^2}\ du\ dv[/math]

Nel primo esercizio hai

[math]\mathbf{r}(\theta,\phi)=((R+r\cos\phi)\cos\theta,(R+r\cos\phi)\sin\theta,r\sin\phi)[/math]

da cui

[math]\mathbf{r}_\theta=(-(R+r\cos\phi)\sin\theta,\ (R+r\cos\phi)\cos\theta,\ 0)\\
\mathbf{r}_\phi=(-r\sin\phi\cos\theta,\ -r\sin\phi\sin\theta,\ r\cos\phi)[/math]

e quindi

[math]E=(R+r\cos\phi)^2\sin^2\theta+(R+r\cos\phi)^2\cos^2\theta=(R+r\cos\phi)^2\\
G=r^2\sin^2\theta\sin^2\phi+r^2\cos^2\theta\sin^2\phi+r^2\cos^2\phi=r^2\sin^2\phi+r^2\cos^2\phi=r^2\\
F=r\sin\phi\sin\theta\cos\theta(R+r\cos\phi)-r\sin\phi\sin\theta\cos\theta(R+r\cos\phi)=0[/math]

da cui

[math]\sqrt{EG-F^2}=\sqrt{r^2(R+r\cos\phi)^2}=r(R+r\cos\phi)[/math]

Nel secondo esercizio invece

[math]\mathbf{r}(\theta,t)=(2\cos\theta,2\sin\theta,t)[/math]

da cui

[math]\mathbf{r}_\theta=(-2\sin\theta,2\cos\theta,0),\qquad \mathbf{r}_t=(0,0,1)[/math]

e quindi

[math]E=4\sin^2\theta+4\cos^2\theta=4,\qquad F=0,\qquad G=1\qquad \sqrt{EG-F^2}=2[/math]

[math]\mathbf{N}(\theta,t)=\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2\sin\theta & 2\cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1
\end{array}\right|=(2\cos\theta,\ 2\sin\theta,\ 0)[/math]

e

[math]\mathbf{n}(\theta,t)=\frac{1}{2} (2\cos\theta,\ 2\sin\theta,\ 0)=(\cos\theta,\ \sin\theta,\ 0)[/math]

[