AIUTO: Dubbio su Logaritmo complesso- Polilogaritmo
Allora potete chiarirmi per piacere questo dubbio vi prego:-)
Il logaritmo complesso è l'inverso dell'esponenziale complesso. Si trova che questa funzione è polidroma, quindi si prende la restrizione o per i z tali che $arg(z) in [-pi, pi]$ o $[0, 2pi] $ per farla diventare funzione monodroma bla bla bla vabeh.
Ora prendo invece quella che viene chiamata polilogaritmo ed è il prolungamento analitico dello sviluppo in serie di Taylor del Logaritmo nei reali, cioè centrando in 1 ad esempio $ sum_(n=1)^(oo) ((-1)^(n+1))/n (z-1)^n$ ecco questo è il prolungamento analitico del logaritmo, che è lo sviluppo in serie di taylor della funzione $logz$ e questa serie di potenze definisce una funzioen analitica (o olomorfa se preferite) dove converge, cioè sul disco di centro 1 e raggio 1 $Beta(1,1)$.
Ora, logaritmo complesso e polilogaritmo sono la stessa cosa(e in questo caso il logaritmo sarebbe analitico su tutto $C$ (intero)? Oppure no (e allora non sarebbe analitico perchè non uguale al suo sviluppo in serie di Taylor)? Perchè dalla serie di potenze non risulta essere polidroma...
Illuminatemi e fatemi notare eventuali errori...Grazie in anticipo e scusate ild isturbo
Il logaritmo complesso è l'inverso dell'esponenziale complesso. Si trova che questa funzione è polidroma, quindi si prende la restrizione o per i z tali che $arg(z) in [-pi, pi]$ o $[0, 2pi] $ per farla diventare funzione monodroma bla bla bla vabeh.
Ora prendo invece quella che viene chiamata polilogaritmo ed è il prolungamento analitico dello sviluppo in serie di Taylor del Logaritmo nei reali, cioè centrando in 1 ad esempio $ sum_(n=1)^(oo) ((-1)^(n+1))/n (z-1)^n$ ecco questo è il prolungamento analitico del logaritmo, che è lo sviluppo in serie di taylor della funzione $logz$ e questa serie di potenze definisce una funzioen analitica (o olomorfa se preferite) dove converge, cioè sul disco di centro 1 e raggio 1 $Beta(1,1)$.
Ora, logaritmo complesso e polilogaritmo sono la stessa cosa(e in questo caso il logaritmo sarebbe analitico su tutto $C$ (intero)? Oppure no (e allora non sarebbe analitico perchè non uguale al suo sviluppo in serie di Taylor)? Perchè dalla serie di potenze non risulta essere polidroma...
Illuminatemi e fatemi notare eventuali errori...Grazie in anticipo e scusate ild isturbo
Risposte
Per forza dalla serie di potenze non risulta essere polidroma. Come fa una serie di potenze ad essere una funzione polidroma? Non può; a tale proposito leggo sul Visual complex analysis di Needham, riferito ad un fenomeno analogo a quello osservato da te:
[qui per la verità si riferisce allo sviluppo in serie $(1+z)^(1/3)=1+1/3z-1/9z^2+5/81z^3-...$. E' esattamente lo stesso principio del tuo logaritmo complesso.]
In parole molto povere: gli sviluppi in serie riescono a convergere finché non incocciano in una singolarità o in un punto di diramazione. Ad esempio la $1/(z-i)$, se sviluppata intorno a $0$, non riesce a convergere in un disco più grande di quello unitario perché è bloccata dalla singolarità in $i$.
Del tutto analogamente lo sviluppo di $(1+z)^(1/3)$ non riesce a convergere in un disco più grande di quello unitario perché in $-1$ ha un punto di diramazione. Lo sviluppo in $0$ di $log(1+z)$ segue la stessa sorte (tu hai sviluppato $log(z)$ intorno ad $1$ ed è evidentemente la stessa cosa).
The power series cannot mimic this behaviour since it is necessarily single-valued - its only way out is to cease converging inside the unit disc. We have demanded the impossible of the power series, and it has responded by committing suicide!
[qui per la verità si riferisce allo sviluppo in serie $(1+z)^(1/3)=1+1/3z-1/9z^2+5/81z^3-...$. E' esattamente lo stesso principio del tuo logaritmo complesso.]
In parole molto povere: gli sviluppi in serie riescono a convergere finché non incocciano in una singolarità o in un punto di diramazione. Ad esempio la $1/(z-i)$, se sviluppata intorno a $0$, non riesce a convergere in un disco più grande di quello unitario perché è bloccata dalla singolarità in $i$.
Del tutto analogamente lo sviluppo di $(1+z)^(1/3)$ non riesce a convergere in un disco più grande di quello unitario perché in $-1$ ha un punto di diramazione. Lo sviluppo in $0$ di $log(1+z)$ segue la stessa sorte (tu hai sviluppato $log(z)$ intorno ad $1$ ed è evidentemente la stessa cosa).
Innazitutto grazie per avermi risposto.
Fin qua ti ho seguito, non ho visto a dire il vero cosa sia una diramazione nel corso di analisi 2 (studio fisica), ma cmq posso intuire che sia un punto in cui la funzione da monodroma diventi polidroma...
La domanda finale cmq è: logaritmo complesso e polilogaritmo sono la stessa cosa?
E poi: non capisco come mai nel logaritmo complesso pongo delel condizioni sull'argomento del nuemro complesso, mentre nello sviluppo in serie il vincolo lo pongo sulla distanza dal centro $z0$
Fin qua ti ho seguito, non ho visto a dire il vero cosa sia una diramazione nel corso di analisi 2 (studio fisica), ma cmq posso intuire che sia un punto in cui la funzione da monodroma diventi polidroma...
La domanda finale cmq è: logaritmo complesso e polilogaritmo sono la stessa cosa?
E poi: non capisco come mai nel logaritmo complesso pongo delel condizioni sull'argomento del nuemro complesso, mentre nello sviluppo in serie il vincolo lo pongo sulla distanza dal centro $z0$
Un mio post di qualche tempo fa che potrebbe risultare utile (dissonance se lo ricorderà sicuramente... 
).
).
Quella di Gugo è una maniera di spiegare il fenomeno. Oppure ti consiglio di consultare il Visual complex analysis che dicevo sopra (dal momento che non studi matematica per te dovrebbe essere perfetto); secondo capitolo, paragrafo "Multifunctions". E' molto semplice e chiaro, l'unico difetto (per uno studente di matematica) è che non cura il rigore formale.
P.S.: Mi ero dimenticato il dettaglio più importante!!! L'unico difetto del libro, dicevo, è che non cura il rigore formale a differenza di Gugo.
P.S.: Mi ero dimenticato il dettaglio più importante!!! L'unico difetto del libro, dicevo, è che non cura il rigore formale a differenza di Gugo.
Il libro l'ho appena sfogliato.
È improponibile da usare come testo universitario (nemmeno per gli ingegneri), però è molto carino e fa capire davvero cosa succede a livello "geometrico" con le funzioni complesse; insomma è un buon compendio per chi vuole vedere disegnate le cose.
È improponibile da usare come testo universitario (nemmeno per gli ingegneri), però è molto carino e fa capire davvero cosa succede a livello "geometrico" con le funzioni complesse; insomma è un buon compendio per chi vuole vedere disegnate le cose.
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