Aiuto Dominio d'integrazione integrale triplo

acero1
Salve a tutti,

volevo chiedere un suggerimento su come guardare il dominio di questo integrale triplo

$E=arcsin x+arcsin y+arcsin z$

Mi scuso se non posto nessun ragionamento ma non so proprio cosa vedere in quanto se fosse stato in due variabili magari qualche idea mi sarebbe venuta ma qui in 3 dimensioni non so proprio cosa guardare e nemmeno rappresentare...

Quindi premetto che il mio non è un tentativo di farmi fare l'esercizio ma semplicemente di ottenere un indizio o suggerimento per procedere....

Vi ringrazio in anticipo
saluti

Risposte
ciampax
Ehm... ma il domino dove sta? Io vedo (tra l'altro scritto tra "&" e non tra "dollari" come dovrebbe essere per scrivere le funzioni) solo questa cosa [tex]$E=\arcsin x+\arcsin y+\arcsin z$[/tex]. Che cosa intendi?

acero1
Eh hai ragione scusami


Comunque la stanchezza mi sta facendo brutti scherzi.... perchè devo calcolare l'integrale triplo $ int int int_E x^2+y^2 dx dy dz $

sul dominio della funzione $f(x,y,z)=arcsin x arcsin y arcsin z$


quindi dovevo prima trovare il dominio e poi usare quelle limitazioni....

ciampax
Dunque, vediamo se ho capito, E sarebbe il dominio della funzione che si ottiene come prodotto degli arcoseni delle singole variabili? Bè, visto che [tex]$\arcsin t$[/tex] è definito per [tex]$-1\le t\le 1[/tex] mi pare ovvio che [tex]$E=[-1,1]^3$[/tex] (il prodotto cartesiano dei tre intervalli [tex]$[-1,1]$[/tex] o, se vuoi, il cubo di lato 2 centrato nell'origine del sistema di riferimento). A questo punto mi pare ovvio che

[tex]\iiint (x^2+y^2)\ dx\ dy\ dz=\int_{-1}^1\int_{-1}^1\int_{-1}^1(x^2+y^2)\ dx\ dy\ dz$[/tex]

...a meno che ci sia qualcosa che non ho capito in ciò che hai scritto.

acero1
si si mi trovo con il procedimento tuo ti ringrazio

acero1
Ragazzi ho un dubbio su un dominio
$ D={(x,y,z)in RR^3 : z^2+x^2+y^2-z<=0 , 0<=y<=xsqrt(3)/3}} $

sulla funzione

ho provato ad usare le coordinate sferiche e mi viene

$ f(x,y,z)= 1/(1+sqrt(x^2+y^2+z^2)) $

ora ho fatto le seguenti limitazioni

$0<=rho<=cos phi/(sen phi)$
$0<=phi<=pi$
$0<=theta<=(19/100)pi$

i $(19/100)pi$ mi son saltati fuori ricavandomi l'angolo il cui seno è $sqrt(3)/3$ ovvero $35,26$°
mentre le limitazioni di $rho$ me le sono ricavate semplicemente sostituendo le componenti delle coordinate cilindriche nell'equazione $z^2+x^2+y^2-z<=0$ che dovrebbe essere una sfera giusto?

vi ringrazio ovviamente in anticipo dell'aiuto...

acero1
Ragazzi senza pretesa e con la massima discrezione,nessuno può aiutarmi?

ciampax
Non sono d'accordo: con il cambiamento di variabile in coordinate sferiche [tex]$x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\ y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\ z=\rho\cos\varphi$[/tex] ottieni le seguenti limitazioni

[tex]$\rho^2-\rho\cos\varphi\le 0,\ 0\le\rho\sin\varphi\sin\theta\le\rho\frac{\sqrt{3}}{3}\sin\varphi\cos\theta$[/tex]

La prima implica, banalmente, che [tex]$0\le\rho\le\cos\varphi$[/tex], e quindi deve pure essere [tex]$\varphi\in[0,\pi/2]$[/tex]. Analizziamo la seconda: essendo [tex]$\rho\ge 0$[/tex] deve essere, necessariamente, [tex]$\sin\varphi\sin\theta\ge 0,\ \sin\varphi\cos\theta\ge 0$[/tex]: questo implica che, per il momento [tex]$\theta\in[0,\pi/2],\ \varphi\in[0,\pi/2]$[/tex]. Ora, la disequazione [tex]$\rho\sin\varphi\sin\theta\le\rho\frac{\sqrt{3}}{3}\sin\varphi\cos\theta$[/tex] equivale a [tex]$\sin\theta\le\frac{\sqrt{3}}{3}\cos\theta$[/tex] e quindi, dal momento che con la posizione fatta prima per [tex]$\theta$[/tex] le funzioni seno e coseno risultano positive, [tex]$\tan\theta\le\frac{\sqrt{3}}{3}\ \Rightarrow\ \theta\in[0,\pi/3]$[/tex]. Per l'altro angolo invece non ci sono ulteriori condizioni. Quindi l'integrale diventa

[tex]$\iiint_{D'}\frac{\rho^2\sin\varphi}{1+\rho}\ d\rho\ d\varphi\ d\theta$[/tex]

[tex]$D'=\{(\rho,\varphi,\theta)\ :\ \theta\in[0,\pi/3],\ \varphi\in[0,\pi/2],\ \rho\in[0,\cos\varphi]\}$[/tex]

acero1
ciampax ti ringrazio molto perchè ho capito dove sbaglio...

l'unica cosa con il quale non mi trovo è la variazione di $0<=theta<=pi/6$

ciampax
[tex]$\pi/3$[/tex]: perché hai che [tex]$\theta\in[0,\pi/2]$[/tex] all'inizio e poi trovi anche che [tex]$\tan\theta\le\frac{\sqrt{3}}{3}$[/tex] (e [tex]$\tan(\pi/3)=\sqrt{3}/3$[/tex]).

acero1
scusami ciampax non vorrei essere insistente ma la tangente a $tan(pi/3)=sqrt(3)$ mentre quella a $tan(pi/6)=sqrt(3)/3$?

ciampax
Ah sì, scusami tu, ho il cervello in pappa! :-D

acero1
Non ti preoccupare che io ho visto sulla calcolatrice XDXD

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