Aiuto Dominio d'integrazione integrale triplo
Salve a tutti,
volevo chiedere un suggerimento su come guardare il dominio di questo integrale triplo
$E=arcsin x+arcsin y+arcsin z$
Mi scuso se non posto nessun ragionamento ma non so proprio cosa vedere in quanto se fosse stato in due variabili magari qualche idea mi sarebbe venuta ma qui in 3 dimensioni non so proprio cosa guardare e nemmeno rappresentare...
Quindi premetto che il mio non è un tentativo di farmi fare l'esercizio ma semplicemente di ottenere un indizio o suggerimento per procedere....
Vi ringrazio in anticipo
saluti
volevo chiedere un suggerimento su come guardare il dominio di questo integrale triplo
$E=arcsin x+arcsin y+arcsin z$
Mi scuso se non posto nessun ragionamento ma non so proprio cosa vedere in quanto se fosse stato in due variabili magari qualche idea mi sarebbe venuta ma qui in 3 dimensioni non so proprio cosa guardare e nemmeno rappresentare...
Quindi premetto che il mio non è un tentativo di farmi fare l'esercizio ma semplicemente di ottenere un indizio o suggerimento per procedere....
Vi ringrazio in anticipo
saluti
Risposte
Ehm... ma il domino dove sta? Io vedo (tra l'altro scritto tra "&" e non tra "dollari" come dovrebbe essere per scrivere le funzioni) solo questa cosa [tex]$E=\arcsin x+\arcsin y+\arcsin z$[/tex]. Che cosa intendi?
Eh hai ragione scusami
Comunque la stanchezza mi sta facendo brutti scherzi.... perchè devo calcolare l'integrale triplo $ int int int_E x^2+y^2 dx dy dz $
sul dominio della funzione $f(x,y,z)=arcsin x arcsin y arcsin z$
quindi dovevo prima trovare il dominio e poi usare quelle limitazioni....
Comunque la stanchezza mi sta facendo brutti scherzi.... perchè devo calcolare l'integrale triplo $ int int int_E x^2+y^2 dx dy dz $
sul dominio della funzione $f(x,y,z)=arcsin x arcsin y arcsin z$
quindi dovevo prima trovare il dominio e poi usare quelle limitazioni....
Dunque, vediamo se ho capito, E sarebbe il dominio della funzione che si ottiene come prodotto degli arcoseni delle singole variabili? Bè, visto che [tex]$\arcsin t$[/tex] è definito per [tex]$-1\le t\le 1[/tex] mi pare ovvio che [tex]$E=[-1,1]^3$[/tex] (il prodotto cartesiano dei tre intervalli [tex]$[-1,1]$[/tex] o, se vuoi, il cubo di lato 2 centrato nell'origine del sistema di riferimento). A questo punto mi pare ovvio che
[tex]\iiint (x^2+y^2)\ dx\ dy\ dz=\int_{-1}^1\int_{-1}^1\int_{-1}^1(x^2+y^2)\ dx\ dy\ dz$[/tex]
...a meno che ci sia qualcosa che non ho capito in ciò che hai scritto.
[tex]\iiint (x^2+y^2)\ dx\ dy\ dz=\int_{-1}^1\int_{-1}^1\int_{-1}^1(x^2+y^2)\ dx\ dy\ dz$[/tex]
...a meno che ci sia qualcosa che non ho capito in ciò che hai scritto.
si si mi trovo con il procedimento tuo ti ringrazio
Ragazzi ho un dubbio su un dominio
$ D={(x,y,z)in RR^3 : z^2+x^2+y^2-z<=0 , 0<=y<=xsqrt(3)/3}} $
sulla funzione
ho provato ad usare le coordinate sferiche e mi viene
$ f(x,y,z)= 1/(1+sqrt(x^2+y^2+z^2)) $
ora ho fatto le seguenti limitazioni
$0<=rho<=cos phi/(sen phi)$
$0<=phi<=pi$
$0<=theta<=(19/100)pi$
i $(19/100)pi$ mi son saltati fuori ricavandomi l'angolo il cui seno è $sqrt(3)/3$ ovvero $35,26$°
mentre le limitazioni di $rho$ me le sono ricavate semplicemente sostituendo le componenti delle coordinate cilindriche nell'equazione $z^2+x^2+y^2-z<=0$ che dovrebbe essere una sfera giusto?
vi ringrazio ovviamente in anticipo dell'aiuto...
$ D={(x,y,z)in RR^3 : z^2+x^2+y^2-z<=0 , 0<=y<=xsqrt(3)/3}} $
sulla funzione
ho provato ad usare le coordinate sferiche e mi viene
$ f(x,y,z)= 1/(1+sqrt(x^2+y^2+z^2)) $
ora ho fatto le seguenti limitazioni
$0<=rho<=cos phi/(sen phi)$
$0<=phi<=pi$
$0<=theta<=(19/100)pi$
i $(19/100)pi$ mi son saltati fuori ricavandomi l'angolo il cui seno è $sqrt(3)/3$ ovvero $35,26$°
mentre le limitazioni di $rho$ me le sono ricavate semplicemente sostituendo le componenti delle coordinate cilindriche nell'equazione $z^2+x^2+y^2-z<=0$ che dovrebbe essere una sfera giusto?
vi ringrazio ovviamente in anticipo dell'aiuto...
Ragazzi senza pretesa e con la massima discrezione,nessuno può aiutarmi?
Non sono d'accordo: con il cambiamento di variabile in coordinate sferiche [tex]$x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\ y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\ z=\rho\cos\varphi$[/tex] ottieni le seguenti limitazioni
[tex]$\rho^2-\rho\cos\varphi\le 0,\ 0\le\rho\sin\varphi\sin\theta\le\rho\frac{\sqrt{3}}{3}\sin\varphi\cos\theta$[/tex]
La prima implica, banalmente, che [tex]$0\le\rho\le\cos\varphi$[/tex], e quindi deve pure essere [tex]$\varphi\in[0,\pi/2]$[/tex]. Analizziamo la seconda: essendo [tex]$\rho\ge 0$[/tex] deve essere, necessariamente, [tex]$\sin\varphi\sin\theta\ge 0,\ \sin\varphi\cos\theta\ge 0$[/tex]: questo implica che, per il momento [tex]$\theta\in[0,\pi/2],\ \varphi\in[0,\pi/2]$[/tex]. Ora, la disequazione [tex]$\rho\sin\varphi\sin\theta\le\rho\frac{\sqrt{3}}{3}\sin\varphi\cos\theta$[/tex] equivale a [tex]$\sin\theta\le\frac{\sqrt{3}}{3}\cos\theta$[/tex] e quindi, dal momento che con la posizione fatta prima per [tex]$\theta$[/tex] le funzioni seno e coseno risultano positive, [tex]$\tan\theta\le\frac{\sqrt{3}}{3}\ \Rightarrow\ \theta\in[0,\pi/3]$[/tex]. Per l'altro angolo invece non ci sono ulteriori condizioni. Quindi l'integrale diventa
[tex]$\iiint_{D'}\frac{\rho^2\sin\varphi}{1+\rho}\ d\rho\ d\varphi\ d\theta$[/tex]
[tex]$D'=\{(\rho,\varphi,\theta)\ :\ \theta\in[0,\pi/3],\ \varphi\in[0,\pi/2],\ \rho\in[0,\cos\varphi]\}$[/tex]
[tex]$\rho^2-\rho\cos\varphi\le 0,\ 0\le\rho\sin\varphi\sin\theta\le\rho\frac{\sqrt{3}}{3}\sin\varphi\cos\theta$[/tex]
La prima implica, banalmente, che [tex]$0\le\rho\le\cos\varphi$[/tex], e quindi deve pure essere [tex]$\varphi\in[0,\pi/2]$[/tex]. Analizziamo la seconda: essendo [tex]$\rho\ge 0$[/tex] deve essere, necessariamente, [tex]$\sin\varphi\sin\theta\ge 0,\ \sin\varphi\cos\theta\ge 0$[/tex]: questo implica che, per il momento [tex]$\theta\in[0,\pi/2],\ \varphi\in[0,\pi/2]$[/tex]. Ora, la disequazione [tex]$\rho\sin\varphi\sin\theta\le\rho\frac{\sqrt{3}}{3}\sin\varphi\cos\theta$[/tex] equivale a [tex]$\sin\theta\le\frac{\sqrt{3}}{3}\cos\theta$[/tex] e quindi, dal momento che con la posizione fatta prima per [tex]$\theta$[/tex] le funzioni seno e coseno risultano positive, [tex]$\tan\theta\le\frac{\sqrt{3}}{3}\ \Rightarrow\ \theta\in[0,\pi/3]$[/tex]. Per l'altro angolo invece non ci sono ulteriori condizioni. Quindi l'integrale diventa
[tex]$\iiint_{D'}\frac{\rho^2\sin\varphi}{1+\rho}\ d\rho\ d\varphi\ d\theta$[/tex]
[tex]$D'=\{(\rho,\varphi,\theta)\ :\ \theta\in[0,\pi/3],\ \varphi\in[0,\pi/2],\ \rho\in[0,\cos\varphi]\}$[/tex]
ciampax ti ringrazio molto perchè ho capito dove sbaglio...
l'unica cosa con il quale non mi trovo è la variazione di $0<=theta<=pi/6$
l'unica cosa con il quale non mi trovo è la variazione di $0<=theta<=pi/6$
[tex]$\pi/3$[/tex]: perché hai che [tex]$\theta\in[0,\pi/2]$[/tex] all'inizio e poi trovi anche che [tex]$\tan\theta\le\frac{\sqrt{3}}{3}$[/tex] (e [tex]$\tan(\pi/3)=\sqrt{3}/3$[/tex]).
scusami ciampax non vorrei essere insistente ma la tangente a $tan(pi/3)=sqrt(3)$ mentre quella a $tan(pi/6)=sqrt(3)/3$?
Ah sì, scusami tu, ho il cervello in pappa! 
Non ti preoccupare che io ho visto sulla calcolatrice XDXD
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