Aiuto disuguaglianza
ciao ragazzi, è una fortuna che ho trovato questo forum 
sono al primo anno di ingegneria e stavo preparando l'esame di analisi 1 ma mi sono imbatutto in questo esercizio
(n^2)+ (2n)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ > m
n + 1
in pratica devo, attraverso la definizione di limite, dimostrare perchè questa successione diverga a +infinito... se mi aiutate mi fate un gran favore, e spero in un futuro di potervi essere utile in qualche modo...ciao ciao
sono al primo anno di ingegneria e stavo preparando l'esame di analisi 1 ma mi sono imbatutto in questo esercizio
(n^2)+ (2n)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ > m
n + 1
in pratica devo, attraverso la definizione di limite, dimostrare perchè questa successione diverga a +infinito... se mi aiutate mi fate un gran favore, e spero in un futuro di potervi essere utile in qualche modo...ciao ciao
Risposte
Immagino che quei punti interrogativi rappresentino la linea di frazione. Se così è risolvi la disequazione rispetto a $n$.
"Tipper":
Immagino che quei punti interrogativi rappresentino la linea di frazione. Se così è risolvi la disequazione rispetto a $n$.
è come faccio? sono proprio un asino... non ricordo come si fa!!!
Non so se puo' andar bene cosi'
$lim_(n->+oo)(n^2+2n)/(n+1) = $
$= lim_(n->+oo)(n^2+2n + 1 - 1)/(n+1) = $
$= lim_(n->+oo)((n+ 1)^2 - 1)/(n+1) = $
$= lim_(n->+oo)((n+ 1)^2 - 1)/(n+1) = $
$= lim_(n->+oo)((n+ 1) - 1/(n+1)) = $
$= lim_(n->+oo)(n+ 1) - lim_(n->+oo)1/(n+1)) = +oo - 0 = +oo$
Definizione di $lim_(x->+oo)f(x)=+oo$
$forall M>0$ esiste un intorno di $+oo, I(+oo)$ tale che $forall x in I(+oo) -> |f(x)| > M$
da cui $|(n^2+2n)/(n+1)|>M$
$lim_(n->+oo)(n^2+2n)/(n+1) = $
$= lim_(n->+oo)(n^2+2n + 1 - 1)/(n+1) = $
$= lim_(n->+oo)((n+ 1)^2 - 1)/(n+1) = $
$= lim_(n->+oo)((n+ 1)^2 - 1)/(n+1) = $
$= lim_(n->+oo)((n+ 1) - 1/(n+1)) = $
$= lim_(n->+oo)(n+ 1) - lim_(n->+oo)1/(n+1)) = +oo - 0 = +oo$
Definizione di $lim_(x->+oo)f(x)=+oo$
$forall M>0$ esiste un intorno di $+oo, I(+oo)$ tale che $forall x in I(+oo) -> |f(x)| > M$
da cui $|(n^2+2n)/(n+1)|>M$
oppure si puo' provare per assurdo considerando il limite finito.
mha... proprio non lo capisco come diavolo fa il libro.... perchè dice che si deve utilizzare la definizione di limite
Dato che $n$ è un numero naturale puoi moltiplicare ambo i membri per $n+1$ mantenendo il verso della disuguaglianza, e ottenendo
$n^2 + 2n > mn + m$
e questa è banalmente un'equazione di secondo grado.
$n^2 + 2n > mn + m$
e questa è banalmente un'equazione di secondo grado.
"Tipper":
$n^2 + 2n > mn + m$
e questa è banalmente un'equazione di secondo grado.
Disequazione
non ci stiamo!!! raga resta l'n!!!
"eugenio.amitrano":
$lim_(n->+oo)(n^2+2n)/(n+1) = $
$= lim_(n->+oo)(n^2+2n + 1 - 1)/(n+1) = $
$= lim_(n->+oo)((n+ 1)^2 - 1)/(n+1) = $
$= lim_(n->+oo)((n+ 1)^2 - 1)/(n+1) = $
$= lim_(n->+oo)((n+ 1) - 1/(n+1)) = $
$= lim_(n->+oo)(n+ 1) - lim_(n->+oo)1/(n+1)) = +oo - 0 = +oo$
Questa è la "prima parte" dell'esercizio, cioè è il calcolo del limite della successione: se vuoi è la parte semplice, perchè si tratta di applicare due regole di calcolo già provate.
Ora viene la "seconda parte", ossia dimostrare con la definizione di limite che il risultato che hai trovato prima è quello giusto.
"eugenio.amitrano":
Definizione di $lim_(x->+oo)f(x)=+oo$
$forall M>0$ esiste un intorno di $+oo, I(+oo)$ tale che $forall x in I(+oo) -> |f(x)| > M$
Questa è la definizione di limite per una variabile reale; visto che ti interessano i numeri naturali (scommetto che $n in NN$) puoi particolareggiare la definizione di limite come segue:
$AA M>0, exists nu in NN: \quad AA n in NN " ed " nge nu, f(n)>M$
poichè infatti la disuguaglianza $nge nu$ definisce un intorno dell'infinito in $NN$.
Come fare ad usare la definizione?
La risposta è semplice, ma comunque devi prestare attenzione: il discorso si basa sulla eliminazione dei quantificatori e sulla loro successiva reintroduzione (insomma è tutto un problema di gestione dei quantificatori).
Innanzitutto devi tener presente che quando un $AA$ precede un $exists$, la variabile quantificata da $exists$ dipende da come scegli la variabile quantificata da $AA$ (ed eventualmente da tutte le variabili quantificate in precedenza): nel nostro caso dobbiamo trovare un naturale $nu$ che dipenda unicamente dalla scelta di $M>0$ e che goda della proprietà $AA n in NN " ed " nge nu, f(n)>M$.
I passi da seguire sono quelli elencati appresso:
1) Cominci con l'eliminare $AA M>0$: questo si fa ritenendo $M$ fissato positivo;
2) Cerchi di ricavare dalla disequazione $f(n)>M$ una disuguaglianza del tipo $n>g(M)$;
3) Poni $mu="max" {0, [g(M)]+1}$ (in questa formula $[g(M)]$ denota la parte intera del numero reale $g(M)$);
4) Procedi guardando a ritroso nei tuoi passaggi, rendendoti conto che $AA nge mu$ vale la disuguaglianza $f(n)>M$;
5) Reintroduci il quantificatore $AA$ davanti ad $M$ e dici che il $nu$ che cercavi puoi sceglierlo uguale al $mu$ che hai determinato al passo 3).
Dalla teoria alla pratica il passo è breve: (passo 1) fissato $M>0$, hai (passo 2):
$(n^2+2n)/(n+1)>M$ se e solo se $n^2+2n>M*(n+1)$ se e solo se $n^2+(2-M)*n-M>0$;
l'ultima relazione è una disuguaglianza di secondo grado nella variabile $n$ e si risolve prendendo $n$ esterno alle due radici del polinomio $x^2+(2-M)*x-M$ se risulta $Delta ge0$ oppure $n inNN$ se risulta $Delta<0$: d'altra parte abbiamo $Delta=(2-M)^2+4M=M^2+4>0$, quindi occorre e basta prendere $n$ in modo che verifichi una delle due disuguaglianze:
$n
($x_(1,2)$ sono le radici del polinomio $x^2+(2-M)*x-M$);
ricordando che $nge 0$ (perchè $n in NN$) e visto che $x_1<0$ e $x_2>0$, l'unica alternativa possibile è prendere:
$n>(M-2+ sqrt((2-M)^2+4))/2$;
(passo 3) poni $mu="max"{0,[(M-2+sqrt((2-M)^2+4))/2]+1}=[(M-2+sqrt((2-M)^2+4))/2]+1$ e (passo 4) ripercorri a ritroso tutte le disuguaglianze in modo da notare che $AA n >mu$ vale la relazione $(n^2+2n)/(n+1)>M$; (passo 5) lascia libero di variare $M$ tra i positivi e poni $nu=mu=[(M-2+ sqrt((2-M)^2+4))/2]+1$ e l'esercizio è bello che risolto.
Spero di essere stato chiaro. Se hai ancora dubbi posta e ti sarà risposto.
wow..... non ho capito mezzo tubo perchè lo letto adesso.... però ora rida.. vedo di leggere con attenzione..grazie mitico gugo! da oggi sei il mio matematico di riferimento!
"kenta88":
wow..... non ho capito mezzo tubo perchè lo letto adesso.... però ora rida.. vedo di leggere con attenzione..grazie mitico gugo! da oggi sei il mio matematico di riferimento!
Grazie dei complimenti, arrossisco!
Leggi lentamente e con attenzione, rifai tutti i passaggi e vedrai che diverrà tutto più chiaro.
Rozzo ? certo che no , didattico sì e meno male ( per kenta88) che si è persa per strada la gestione dei quantificatori .
Gugo, non volermene ma credo che a questo stadio risulti un po' indigesta a kenta 88 .
.Gugo, non volermene ma credo che a questo stadio risulti un po' indigesta a kenta 88 .
no figuratevi... veramente ancora mi ci metto a legge il ragionamento... intanto vi do questo limite da calcolare boys
[1+1/(n^n)]^n!
pensavo di ricondurlo a questo limite notevole ( 1 + 1/n)^n .... però non so come
[1+1/(n^n)]^n!
pensavo di ricondurlo a questo limite notevole ( 1 + 1/n)^n .... però non so come
"Camillo":
Rozzo ? certo che no , didattico sì e meno male ( per kenta88) che si è persa per strada la gestione dei quantificatori
Gugo, non volermene ma credo che a questo stadio risulti un po' indigesta a kenta 88 .
A parte i termini tecnici gestione, eliminazione ed introduzione dei quantificatori, questa roba l'ho imparata nel primo modulo di Analisi I (il corso durava da settembre a gennaio). Certo, il modo di esporlo è formale ma penso di essere stato abbastanza semplice e chiaro.
Ad ogni modo è tutta roba che si insegna in un buon corso di Analisi I, secondo me.
Ricordo una bella frase di Einstein: "Everything should be made as simple as possible, but not simpler." (traduzione per i non anglofoni: Fate le cose nel modo più semplice possibile, ma senza semplificarle.)
"kenta88":
intanto vi do questo limite da calcolare boys
$[1+1/(n^n)]^(n!)$
pensavo di ricondurlo a questo limite notevole $(1+1/n)^n$... però non so come
L'idea è giusta kenta88.
Hai provato a moltiplicare e dividere l'esponente per $n^n$ ed applicare le proprietà delle potenze? Funziona. Provare per credere.
P.S.: 200-esimo post! Yu-uh!
quale esponente intendi? il fattoriale o il denominatore?
"kenta88":
quale esponente intendi? il fattoriale o il denominatore?
Vero, ce ne sono due!
Comunque intendevo il fattoriale.
oddio non ho inteso bene, cioè fare qualcosa del gebere?
(1+1/n^n)^n!xnx1/n ????
(1+1/n^n)^n!xnx1/n ????
E' proprio il formalismo che può spaventare chi è alle prime armi (e non frequenta un CDL di Matematica).
Secondo me va somministrato a piccole dosi, almeno all'inizio per evitare una reazione di rigetto
Secondo me va somministrato a piccole dosi, almeno all'inizio per evitare una reazione di rigetto
-.- ... che dite??? io no capito bene! LOL XD
"kenta88":
oddio non ho inteso bene, cioè fare qualcosa del gebere?
(1+1/n^n)^n!xnx1/n ????
Ti conviene scrivere le formule in modo che appaiano visualizzabili: per fare questo interponile tra i simboli del dollaro e impara il semplice linguaggio.
Comunque intendeva questo
$(1+1/(n^n))^((n^n)*((n!)/n^n))$
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