Aiuto dimostrazione criterio di weirstrass.

[miik91]

Salve a tutti. Avrei bisogno della dimostrazione del criterio di Weierstrass per la convergenza delle serie di funzioni, ma non riesco a trovarla da nessuna parte!! Il criterio dovrebbe essere il seguente:

Sia

[math]f_n:R->R[/math]

una successione di funzioni a valori reali. Se per ogni n esiste un

[math]M_{k}>=0[/math]

tale che [math]|f_{n}(x)|

[ciampax]

L'enunciato corretto è il seguente:

Sia

[math]\{f_n(x)\}[/math]

una successione di funzioni

[math]f_n:A\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/math]

. Se esiste una successione numerica

[math]\{M_n\}[/math]

a termini non negativi (

[math]M_n\geq 0[/math]

per ogni

[math]n[/math]

) tale che

1) per ogni

[math]n[/math]

si ha

[math]|f_n(x)|\leq M_n[/math]

per ogni

[math]x\in A[/math]

;
2) la serie

[math]\sum_{n=0}^\infty M_n[/math]

converge

allora la serie

[math]\sum_{n=0}^\infty f_n(x)[/math]

converge totalmente ed uniformemente.

DIMOSTRAZIONE: Consideriamo la successione delle somme parziali

[math]S_n(x)=\sum_{k=0}^n f_k(x)[/math]

. Se

[math]m>n[/math]

allora

[math]\left|S_m(x)-S_n(x)\right|)\left|\sum_{k=0}^m f_k(x)-\sum_{k=0}^n f_k(x)\right|=
\left|\sum_{k=n+1}^m f_k(x)\right|\leq\sum_{k=n+1}^m|f_k(x)|[/math]

dove si è usata la disuguaglianza triangolare per l'ultima disuguaglianza. Per l'ipotesi di maggiorazione delle funzioni si ha allora

[math]\left|S_m(x)-S_n(x)\right|\leq\sum_{k=n+1}^m M_k[/math]

.

Dalla convergenza della serie numerica si ricava che (per definizione) per ogni

[math]\epsilon>0[/math]

esiste

[math]n_\epsilon[/math]

tale che per ogni

[math]n>n_\epsilon[/math]

si ha

[math]\sum_{k=n}^\infty M_kn>n_\epsilon[/math]

si ha

[math]\left|S_m(x)-S_n(x)\right|\leq\sum_{k=n+1}^m M_k\leq\sum_{k=n+1}^\infty M_k