Aiuto derivazione un pò lunga
Salve a tutti, ho la seguente funzione di cui devo calcolare la derivata prima....
$f(x)=1/2 * [x* sqrt (a^2 + x^2) + a^2 * log(x + sqrt (a^2 + x^2))]$ (non so perchè la radice viene un pò ad apice...Comunque è radice di $a^2 + x^2$)
Il risultato del libro è $sqrt (a^2 + x^2)$ , mentre a me viene $a^2 + x^2$....Posto tutto il mio svolgimento e per favore ditemi dove sbaglio... (D sta per derivata)...Svolgo frammento per frammento della funzione:
1 - $D(x* sqrt (a^2 + x^2))=sqrt (a^2 + x^2) + x * ((2x)/(2sqrt (a^2 + x^2)))=sqrt (a^2 + x^2) + x^2 / (sqrt (a^2 + x^2))$
2 - $D(a^2 log (x + sqrt (a^2 + x^2)))=a^2 [(1 + (2x)/(2 sqrt (a^2 + x^2))/(x+sqrt (a^2 + x^2)))]=a^2 [1 + (x)/(sqrt (a^2 + x^2)) * (1)/(x+sqrt (a^2 + x^2))]=1/(sqrt (a^2 + x^2))$
Infine concludo sommando i due risultati precedenti:
$f^I(x)=1/2 (sqrt (a^2 + x^2) + (x^2)/(sqrt (a^2 + x^2)) + (a^2)/(sqrt (a^2 + x^2)))$.....Moltiplicando ogni membro per $sqrt (a^2 + x^2)$ ottengo :
$f^I(x)=1/2 (a^2 + x^2 + x^2 + a^2)=1/2 (2*(a^2 + x^2))=a^2 + x^2$
Spero di non aver dimenticato qualcosa.....
$f(x)=1/2 * [x* sqrt (a^2 + x^2) + a^2 * log(x + sqrt (a^2 + x^2))]$ (non so perchè la radice viene un pò ad apice...Comunque è radice di $a^2 + x^2$)
Il risultato del libro è $sqrt (a^2 + x^2)$ , mentre a me viene $a^2 + x^2$....Posto tutto il mio svolgimento e per favore ditemi dove sbaglio... (D sta per derivata)...Svolgo frammento per frammento della funzione:
1 - $D(x* sqrt (a^2 + x^2))=sqrt (a^2 + x^2) + x * ((2x)/(2sqrt (a^2 + x^2)))=sqrt (a^2 + x^2) + x^2 / (sqrt (a^2 + x^2))$
2 - $D(a^2 log (x + sqrt (a^2 + x^2)))=a^2 [(1 + (2x)/(2 sqrt (a^2 + x^2))/(x+sqrt (a^2 + x^2)))]=a^2 [1 + (x)/(sqrt (a^2 + x^2)) * (1)/(x+sqrt (a^2 + x^2))]=1/(sqrt (a^2 + x^2))$
Infine concludo sommando i due risultati precedenti:
$f^I(x)=1/2 (sqrt (a^2 + x^2) + (x^2)/(sqrt (a^2 + x^2)) + (a^2)/(sqrt (a^2 + x^2)))$.....Moltiplicando ogni membro per $sqrt (a^2 + x^2)$ ottengo :
$f^I(x)=1/2 (a^2 + x^2 + x^2 + a^2)=1/2 (2*(a^2 + x^2))=a^2 + x^2$
Spero di non aver dimenticato qualcosa.....
Risposte
L'errore è quando tu prendi l'iniziativa: "Moltiplicando ogni membro per..." è il passaggio sbagliato
è un'operazione illecita???Ci avevo pensato però...comunque come faccio allora ad arrivare alla soluzione???
Se tu hai una funzione, puoi operare solo per elementi neutri: puoi aggiungere zero o moltiplicare per 1 o elevare a 1. Nel tuo caso hai moltiplicato per $\sqrt{a^2+x^2}$, ma $\sqrt{a^2+x^2}\ne 1$
Edit: la risposta che avevo dato prima non era completa, questa sì!
Edit: la risposta che avevo dato prima non era completa, questa sì!
Ho capito...Ma come potrei arrivare alla soluzione allora??Non mi viene in mente niente
Ti mostro: invece di moltiplicare per una sostanza che cambia il valore della nostra funzione, prova a svolgere i calcoli all'interno della parentesi, come hai fatto alle medie, unifica i denominatori, correggi i numeratori e somma; hai fatto un notevole sforzo per arrivare sino a lì e adesso ti fermi! 
alla fine risulterà facilmente $1/2((2(a^2 + x^2))/(sqrt{a^2 + x^2}))$ e qui devi solo ricordarti che $n/sqrt{n} = sqrt{n}$ per semplice applicazione delle proprietà delle potenze.
alla fine risulterà facilmente $1/2((2(a^2 + x^2))/(sqrt{a^2 + x^2}))$ e qui devi solo ricordarti che $n/sqrt{n} = sqrt{n}$ per semplice applicazione delle proprietà delle potenze.
Come ha detto ObServer è giusto, anche se sarebbe stato meglio che ci arrivassi tu!
la mia pista invece ti avrebbe portato a moltiplicare tutto per $(\sqrt{a^2+x^2})/(\sqrt{a^2+x^2})=1$ che è un procedimento scomodo, ma è quello che hai cercato di applicare tu; in questo modo il tuo risultato $a^2+x^2$ va diviso per $\sqrt{a^2+x^2}$ e risulta quello che dovrebbe.
la mia pista invece ti avrebbe portato a moltiplicare tutto per $(\sqrt{a^2+x^2})/(\sqrt{a^2+x^2})=1$ che è un procedimento scomodo, ma è quello che hai cercato di applicare tu; in questo modo il tuo risultato $a^2+x^2$ va diviso per $\sqrt{a^2+x^2}$ e risulta quello che dovrebbe.
grazie ad entrambi.....
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