Aiuto derivazione funzione potenziale
Ciao e buonasera a tutti mi trovo da un paio di settimane a "combattere" con una funzione potenziale del tipo
$ V= int_(gamma(x,y,z))^(oo) f(x,y,z,u) du $ dove $f(x,y,z,u)$ è una funzione abbastanza complessa, ora io mi trovo a dover effettuare la derivata $(del^2V)/(delxdelz)$ ma purtroppo sull'articolo che sto studiando non ci sono assolutamente passaggi intermedi o spiegazioni ma si giunge direttamente al risultato finale, qualcuno gentilmente saprebbe indicarmi i passaggi da effetturare e regole da utilizzare nelle derivazioni di funzioni di questo tipo...sono sicuro che mi perdo qualcosa...grazie a tutti e buonanotte
$ V= int_(gamma(x,y,z))^(oo) f(x,y,z,u) du $ dove $f(x,y,z,u)$ è una funzione abbastanza complessa, ora io mi trovo a dover effettuare la derivata $(del^2V)/(delxdelz)$ ma purtroppo sull'articolo che sto studiando non ci sono assolutamente passaggi intermedi o spiegazioni ma si giunge direttamente al risultato finale, qualcuno gentilmente saprebbe indicarmi i passaggi da effetturare e regole da utilizzare nelle derivazioni di funzioni di questo tipo...sono sicuro che mi perdo qualcosa...grazie a tutti e buonanotte
Risposte
Derivazione della funzione integrale & chain rule.
Ad esempio hai:
\[
V_x (x,y,z)= -f(x,y,z,\gamma(x,y,z))\ \gamma_x (x,y,z)+\int_{\gamma (x,y,z)}^\infty f_x (x,y,z,u)\ \text{d} u\; ,
\]
quindi \(V_{xz}=\)...
Ad esempio hai:
\[
V_x (x,y,z)= -f(x,y,z,\gamma(x,y,z))\ \gamma_x (x,y,z)+\int_{\gamma (x,y,z)}^\infty f_x (x,y,z,u)\ \text{d} u\; ,
\]
quindi \(V_{xz}=\)...
Ciao gugo ti ringrazio infinitamente per la tua risposta, ho effettuato la derivata come mi ha detto tu,ora prima di postare i miei risultati ti posto le funzioni di partenza
$ V=int_(gamma(x,y,z))^(oo) (1-x^2/(a^2+u)-y^2/(b^2+u)-z^2/u) (du)/[(a^2+u)(b^2+u)u]^(1/2) $
$gamma$ è la funzione rappresentata dalla radice dell'equazione cubica
$1-x^2/(a^2+gamma)-y^2/(b^2+gamma)-z^2/gamma=0$
ora io effettuando la derivata $ (del^2 V)/(delzdelx) $ ottengo
$ (del^2 V)/(delzdelx)= 1/[(a^2+gamma)(b^2+gamma)gamma]^(1/2)*[(2x)/(a^2+gamma)*gamma_z+(2z)/gamma*gamma_x-gamma_(zx)*(1-x^2/(a^2+gamma)-y^2/(b^2+gamma)-z^2/gamma)] $
il testo che sto studiando invece mi fornisce come soluzione quanto segue e non riesco a venirne a capo
$ (del^2 V)/(delzdelx)=(-4xz)/(x^2/(a^2+gamma)^2+y^2/(b^2+gamma)^2+z^2/gamma^2) * 1/(((a^2+gamma)*gamma)^(3/2)*(b^2+gamma)^(1/2))$
$ V=int_(gamma(x,y,z))^(oo) (1-x^2/(a^2+u)-y^2/(b^2+u)-z^2/u) (du)/[(a^2+u)(b^2+u)u]^(1/2) $
$gamma$ è la funzione rappresentata dalla radice dell'equazione cubica
$1-x^2/(a^2+gamma)-y^2/(b^2+gamma)-z^2/gamma=0$
ora io effettuando la derivata $ (del^2 V)/(delzdelx) $ ottengo
$ (del^2 V)/(delzdelx)= 1/[(a^2+gamma)(b^2+gamma)gamma]^(1/2)*[(2x)/(a^2+gamma)*gamma_z+(2z)/gamma*gamma_x-gamma_(zx)*(1-x^2/(a^2+gamma)-y^2/(b^2+gamma)-z^2/gamma)] $
il testo che sto studiando invece mi fornisce come soluzione quanto segue e non riesco a venirne a capo
$ (del^2 V)/(delzdelx)=(-4xz)/(x^2/(a^2+gamma)^2+y^2/(b^2+gamma)^2+z^2/gamma^2) * 1/(((a^2+gamma)*gamma)^(3/2)*(b^2+gamma)^(1/2))$
Potresti provare col teorema della funzione implicita, il quale ti dà un'espressione più o meno maneggevole per \(\gamma_x\) e, quindi, per \(\gamma_{xz}\).
Credo che la roba di Analisi I e II e saper fare i conti siano ancora dei prerequisiti necessari per studiare articoli di ricerca, no?
Credo che la roba di Analisi I e II e saper fare i conti siano ancora dei prerequisiti necessari per studiare articoli di ricerca, no?
ciao gugo di nuovo grazie della risposta, ora proverò la tua strada e mi studierò il teorema, riguardo ai prerequisiti hai perfettamente ragione a vederla così tu che sei un matematico ma dalla mia parte di ingengere che traparentesi ha fatto agevolmente entrambe gli esami di analisi purtroppo la musica è tutt'altra...e nel programma assolutamente non c'era 
riconosco i miei limiti ma non ho tutte le colpe e tra parentesi se ponessi la domanda al mio relatore anche lui sono sicuro che non saprebbe che pesci pigliare cmqe come si dice ogni limite va superato e io mi impegno per questo e per approfondire le mie mancanze anche grazie a questo splendido forum a cui sono grato per tante cose, detto questo ti auguro una buona serata p.s. magari avessi avuto a che fare con persone come te all'uni 
riconosco i miei limiti ma non ho tutte le colpe e tra parentesi se ponessi la domanda al mio relatore anche lui sono sicuro che non saprebbe che pesci pigliare cmqe come si dice ogni limite va superato e io mi impegno per questo e per approfondire le mie mancanze anche grazie a questo splendido forum a cui sono grato per tante cose, detto questo ti auguro una buona serata p.s. magari avessi avuto a che fare con persone come te all'uni
"lucadileta":
ciao gugo di nuovo grazie della risposta, ora proverò la tua strada e mi studierò il teorema, riguardo ai prerequisiti hai perfettamente ragione a vederla così tu che sei un matematico ma dalla mia parte di ingengere che traparentesi ha fatto agevolmente entrambe gli esami di analisi purtroppo la musica è tutt'altra...e nel programma assolutamente non c'era
Come dicono a Roma, ma che, davero?...
Il teorema del Dini, o della funzione implicita, è un risultato importante di Analisi, tanto importante che si è fatto di tutto per estenderlo al caso di operatori tra spazi funzionali e ad altre situazioni astratte.
Mi pare assurdo che, in un corso di Analisi II, questo teorema non sia mai stato affrontato.
"lucadileta":
riconosco i miei limiti ma non ho tutte le colpe e tra parentesi se ponessi la domanda al mio relatore anche lui sono sicuro che non saprebbe che pesci pigliare cmqe come si dice ogni limite va superato e io mi impegno per questo e per approfondire le mie mancanze anche grazie a questo splendido forum a cui sono grato per tante cose, detto questo ti auguro una buona serata
Ok.
Però permettimi di dubitare di quanto dici del tuo relatore... Soprattutto se è uno che si è formato prima del 1998.
"lucadileta":
p.s. magari avessi avuto a che fare con persone come te all'uni
Probabilmente i miei studenti non la pensano allo stesso modo... Ma che vuoi fare: in aula è difficile interagire con calma con i ragazzi.
caro gugo ahimè purtroppo è vero..il teorema del dini non è mai stato nemmeno preso in considerazione...non dico fandonie e riguardo al mio relatore non scherzo...se fossi rimasto a quanto diceva lui starei ancora a caro amico....ma cmqe non ne faccio una colpa a nessuno io ho scelto l'approccio più teorico possibile e quello in cui fossi più ignorante proprio per imparare ,altrimenti, per come la vedo io la tesi sarebbe solo tempo perso e poi la matematica applicata mi piace moltissimo ed è la base di tutto e di tutti i modelli ingnegneristi quindi...non si può e non si deve trascurare e poi ho una piccola fissazione non mi piacciono gli assunti e devo capire tutto dall'inizio alla fine di quello che incontro per strada anche se questo mi porta a scavare a scavare a scavare.... riguardo ai tuoi ragazzi mi viene in mente una frasuccia conosciuta...."Dio, perdonali perchè non sanno quello che fanno" ed io aggiungo che si perdono a non approfittarne della tua conoscenza di nuovo un saluto gugo
riguardo ai tuoi ragazzi mi viene in mente una frasuccia conosciuta...."Dio, perdonali perchè non sanno quello che fanno" ed io aggiungo che si perdono a non approfittarne della tua conoscenza di nuovo un saluto gugo
@luca: Per curiosità (forse te l'avrò già chiesto, però non ricordo): leggo che scrivi dalla Svizzera... Ma hai studiato in Italia, almeno alla triennale?
Ad ogni modo, il teorema del Dini fornisce per la derivata risp. ad \(x\) della funzione implicita \(\gamma (x,y,z)\) definita da un'equazione del tipo \(F(x,y,z,\gamma) =0\) la seguente espressione:
\[
\gamma_x (x,y,z) = -F_x (x,y,z,\gamma (x,y,z))\ \frac{1}{F_\gamma (x,y,z,\gamma (x,y,z))}\; .
\]
Vedi se può esserti utile.
Ad ogni modo, il teorema del Dini fornisce per la derivata risp. ad \(x\) della funzione implicita \(\gamma (x,y,z)\) definita da un'equazione del tipo \(F(x,y,z,\gamma) =0\) la seguente espressione:
\[
\gamma_x (x,y,z) = -F_x (x,y,z,\gamma (x,y,z))\ \frac{1}{F_\gamma (x,y,z,\gamma (x,y,z))}\; .
\]
Vedi se può esserti utile.
ciao gugo ho fatto un paio di conti al volo e sembra che tutto fili ma non posso ancora dirlo con certezza ti ringrazio davvero infinitamente mi sentivo in un vicolo cieco....riguardo alla domanda che mi hai fatto si gugo ho studiato in italia a Tor Vergata ora è un anno e mezzo che vivo e lavoro in svizzera, ora finita la triennale mi iscriverò al politecnico di zurigo per specializzarmi in meccanica delle strutture e approfondire gli elementi finiti, tu invece dove insegni se posso saperlo?
p.s. cmqe la dedica nella tesi ribadisco te la meriti tutta davvero come un riferimento al forum dove non si finisce mai di imparare
mi sentivo in un vicolo cieco....riguardo alla domanda che mi hai fatto si gugo ho studiato in italia a Tor Vergata ora è un anno e mezzo che vivo e lavoro in svizzera, ora finita la triennale mi iscriverò al politecnico di zurigo per specializzarmi in meccanica delle strutture e approfondire gli elementi finiti, tu invece dove insegni se posso saperlo?p.s. cmqe la dedica nella tesi ribadisco te la meriti tutta davvero come un riferimento al forum dove non si finisce mai di imparare
"lucadileta":
effettuando la derivata $ (del^2 V)/(delzdelx) $ ottengo
$ (del^2 V)/(delzdelx)= 1/[(a^2+gamma)(b^2+gamma)gamma]^(1/2)*[(2x)/(a^2+gamma)*gamma_z+(2z)/gamma*gamma_x-gamma_(zx)*(1-x^2/(a^2+gamma)-y^2/(b^2+gamma)-z^2/gamma)] $
il testo che sto studiando invece mi fornisce come soluzione quanto segue e non riesco a venirne a capo
$ (del^2 V)/(delzdelx)=(-4xz)/(x^2/(a^2+gamma)^2+y^2/(b^2+gamma)^2+z^2/gamma^2) * 1/(((a^2+gamma)*gamma)^(3/2)*(b^2+gamma)^(1/2))$
ciao gugo ho effettuato le derivate come tu mi hai detto ma quanto ottengo è esattamente il doppio della soluzione ottenuta nell'articolo...ho rifatto i conti gia più volte ma arrivo sempre
$ (del^2 V)/(delzdelx)=(-8xz)/(x^2/(a^2+gamma)^2+y^2/(b^2+gamma)^2+z^2/gamma^2) * 1/(((a^2+gamma)*gamma)^(3/2)*(b^2+gamma)^(1/2))$
non riesco a capire dove ho sbagliato anche perchè le derivate sono molto semplici niente di transcendentale....boh
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo