Aiuto correzione esercizi d'esame .

[HelpThermoo]

Salve a tutti , oggi ho dato l'esame di analisi , e se sono riuscito a scrivere qualcosa è grazie a questo forum , quindi prima di tutto vi ringrazio dell'aiuto datomi nei giorni precedenti .
Ora sono in preda all'ansia...perchè vorrei sapere se gli esercizi che ho fatto , almeno i più importanti , sono corretti .

Quindi vi riporto due esercizi essenziali , e vi chiedo , quando avete tempo , di dirmi il risultato che vi viene .

Il primo era un es del tipo :
Determinare se f(x) è sommabile nell'intervallo [0 , +oo) , e successivamente calcolare l'integrale improprio .

$ int_(0)^(+oo) (x+3)/[(x+1)(x^2 + 2x +2)] $

Allora io ho detto inizialmente che f(x) è > 0 nell'intervallo richiesto , e che è asintotica (a +oo) a :

$ x/x^3=1/x^2 $

E che quindi converge ed è sommabile . (non avendo problemi in zero)

Poi per il calcolo ho prima cercato una primitiva , calcolando l'integrale indefinito , e poi mi sono portato a quello improprio

vi riporto i passaggi fondamentali Ho scomposto per fratti semplici)

$ int f(x) dx = int 2/(x+1)- (2x+1)/(x^2 + 2x +2)dx = 2int1/(x+1) -int(2x+1)/(x^2+2x+2) dx=2log(x+1) -int(2x+1)/(x^2 + 2x +2) $

Ora mi occupo del secondo integrale :

$ -int(2x+1)/(x^2 + 2x +2)=-[int(2x)/(x^2 +2x +2)+int1/(x^2+2x +2)]= - [int(2x+2-2)/(x^2+2x+2) + int(1)/((x+1)^2 + 1)] $

Il primo integrale in parentesi mi viene :

$ log(x^2+2x+2) - 2arctg(x+1) $


che col meno davanti è :

$ 2arctg(x+1) -log(x^2+2x+2) $

Il secondo integrale in parentesi quadra mi viene :

$ -int1/(x^2+2x+2)= -arctg(x+1) $

quindi quello che sta nella parentesi quadra è uguale a :

$ 2arctg(x+1) - log(x^2+2x+2) -arct(x+1) = arctg(x+1) -log(x^2+2x+2) $

Ora che ho il secondo pezzo , integro il primo , che era :

$ 2int1/(x+1) = 2log(x+1) = log(x+1)^2 $

Quindi :

$ int(x+3)/[(x+1)(x^2+2x+2)]dx = log(x+1)^2 - log(x^2+2x+2) + arctg(x+1)= log[(x^2+2x+1)/(x^2+2x+2)] +arctg(x+1) $

Adesso : $ int_(0)^(+oo) f(x) dx = lim(m-> +oo) [log((x^2+2x+1)/(x^2+2x+2))+arctg(x+1)] $
calcolato da M a 0 .

Quindi

$ Lim (m->+oo)[log((m^2+2m+1)/(m^2+2m+2))+arctg(m+1)]-[log(1/2) + arctg(1)]=pi/2 -pi/4 - log(1/2) = pi/4 +log2 $

Questo è il risultato che mi viene , potete dargli una controllatina



Il secondo es è una serie di cui mi si chiede di trovare almeno un valore del parametro per cui questa converge .

Ho :

$ sum_(n = 0)^(+oo)(2^(2na)n^n)/(n!) $

Ho scritto che la serie è a termini positivi , e ho usato la stima di stirling per il fattoriale :

quella del tipo :

$ n! ~ n^n/e^n*sqrt(2pin) $

Quindi :

$ An= (2^(na)n^n)/[n^n*e^-nsqrt(2pin)]$

e mi trovo con :

$ (2^(2na)e^n)/[sqrt(2pin)] $

Ora applicando il criterio della radice

Ho :

$ 2^(2a)e<1 $

ora userò il logaritmo però è in base 4 , non naturale , solo che non so come scriverlo xD

$ 4^a< e^-1 $

$ 4^a<4^(log(e^-1) $

$ a<-loge $

(sempre in base 4)

e ho concluso che converge per quei valori .

E' giusto secondo voi?
scusate per il sermone , e grazie in anticipo !

[Camillo]

Ti dico subito che l'integrale è corretto sia come sommabilità che come valore numerico. ottimo !!
La serie non l'ho guardata.

[HelpThermoo]

grazie !!! non sai quanto mi hai dato sollievo xD
Perchè a una compagna era venuto semplicemente $ Pi/2 $

e non capivo perchè...grazieee!
Se quando hai tempo guardi anche l'altro ti faccio una statua in avorio in una città a tua scelta .

[Camillo]

Come città scelgo Milano...
e mi sembra proprio giusto anche l'esercizio sulla serie

[HelpThermoo]

Grazie xD
Vi farò sapere come è andata , alla fine è anche merito vostro!