Aiuto con una breve dimostrazione

[Plinio78]

Il teorema da dimostrare afferma che "Un insieme X è chiuso se e solo se ogni successione convergente di punti di X ha per limite un punto di X"

C'è un passaggio della dimostrazione che non capisco. Per ipotesi X è chiuso, si prende una successione di punti di X il cui limite è $ x_0 $. Ora, se $ x_0 $ non appartiene al sostegno della successione (ovvero ai valori assunti da quest'ultima), allora esso è un punto di accumulazione per il sostegno della successione.

Sapreste spiegarmi perché $ x_0 $ è un punto di accumulazione per il sostegno?

[bobus1]

Se così non fosse allora esisterebbe un intorno di \(\displaystyle x_0 \) che non contiene punti della successione, che è in contraddizione con il fatto che la successione ha come limite \(\displaystyle x_0 \).

[Plinio78]

"bobus":Se così non fosse allora esisterebbe un intorno di \(\displaystyle x_0 \) che non contiene punti della successione, che è in contraddizione con il fatto che la successione ha come limite \(\displaystyle x_0 \).

grazie mille