Aiuto con un limite (sviluppo di taylo)
salve a tutti ragazzi, questo è il mio primo post su questo forum.
Oggi ho dato un (pessimo) primo appello di analisi I.
Ce l'ho messa tutta, ma non è stato un granchè secondo me. Qualcuno ha voglia di aiutarmi con un limite e un esercizio?
Il limite che mi ha dato noie è:
$ lim_(n ->+ oo) (sin (4 /n ) - ln (1+ (4 / n )) -8 / n^2 )/ (sin ^3 (2/n) + e^-3n) $
che non so se sono riuscito a scriverlo... Comunque sviluppandolo sopra mi rimaneva solo un termine in c/n^4 che me lo dava il logaritmo... Sotto però non sapevo dove mettere mano.
e poi c'era questa equazione stupida che lo stesso mi ha dato problemi
$( z + 4 ) ^4 = 3* (1-i) ^4$
dove z è un numero complesso da calcolare... qualcuno sa aiutarmi?
Grazie in anticipo a tutti ^^
Oggi ho dato un (pessimo) primo appello di analisi I.
Ce l'ho messa tutta, ma non è stato un granchè secondo me. Qualcuno ha voglia di aiutarmi con un limite e un esercizio?
Il limite che mi ha dato noie è:
$ lim_(n ->+ oo) (sin (4 /n ) - ln (1+ (4 / n )) -8 / n^2 )/ (sin ^3 (2/n) + e^-3n) $
che non so se sono riuscito a scriverlo... Comunque sviluppandolo sopra mi rimaneva solo un termine in c/n^4 che me lo dava il logaritmo... Sotto però non sapevo dove mettere mano.
e poi c'era questa equazione stupida che lo stesso mi ha dato problemi
$( z + 4 ) ^4 = 3* (1-i) ^4$
dove z è un numero complesso da calcolare... qualcuno sa aiutarmi?
Grazie in anticipo a tutti ^^
Risposte
[quote=Bisneff]
$ lim_( -> ) // ) - ln (1+ (<4> // )) - <8> // > // $ $ lim_( -> ) // ) - ln (1+ (<2> // )) - <8> // > // $
/quote]
Non si capisce.
$ lim_(
/quote]
Non si capisce.
Ho editato, pardon... avevo capito male come funzionava ^^
EDIT: ora è fatto bene se non sbaglio ^^
EDIT: ora è fatto bene se non sbaglio ^^
Scusa ma a me sembra un limite di successione, e in questo caso non si usa taylor 
"Bisneff":
$ lim_(n ->+ oo) (sin (4 /n ) - ln (1+ (4 / n )) -8 / n^2 )/ (sin ^3 (2/n) + e^(-3n)) $
Intanto puoi fare questa sostituzione (che mi sembra conveniente): $x = 2/n$ , $n = 2/x$.
$ lim_(x -> 0^+) (sin (2x) - ln ( 1 + 2x ) - x^2 )/ (sin ^3(x) + e^(- 6/x)) $
Ed ora potresti usare Taylor.
Nota: Con qualche osservazione sul denominatore scopri che $e^(- 6/x)$ è trascurabile e che il denominatore è asintotico a $x^3$.
"g.longhi":
Scusa ma a me sembra un limite di successione, e in questo caso non si usa taylor
Si può usare con qualche accorgimento.
Sinceramente non l'avevo mai visto applicato alle successioni, né il mio libro sembra parlarne.
Darò meglio un'occhiata, grazie Seneca!
Darò meglio un'occhiata, grazie Seneca!
si... ho usato taylor...
infatti se non ricordo male veniva una cosa tipo:
(rifacendo il cambio di variabile all'inverso)
$ lim_(x -> oo) ( 4/n - 32/(3n^3) - 4/n +8/n^2 - 32/(3n^3) -8/n^2 +32/(3n^4) + o(1/n^5))/(sin^3 (2/n) - e^-3n) $
Ammettendo che l'esponenziale sia trascurabile (infatti tende a 0)
se sviluppo il sin x al cubo dovrebbe essere
$x^3 - (x^5/2) + o(x^6) $
mi viene comunque qualcosa che non riesco a sistemare... qualcuno sa farlo?
(riuppo anche riguardo all'esercizio sui numeri complessi)
Thank You a tutti comunque
infatti se non ricordo male veniva una cosa tipo:
(rifacendo il cambio di variabile all'inverso)
$ lim_(x -> oo) ( 4/n - 32/(3n^3) - 4/n +8/n^2 - 32/(3n^3) -8/n^2 +32/(3n^4) + o(1/n^5))/(sin^3 (2/n) - e^-3n) $
Ammettendo che l'esponenziale sia trascurabile (infatti tende a 0)
se sviluppo il sin x al cubo dovrebbe essere
$x^3 - (x^5/2) + o(x^6) $
mi viene comunque qualcosa che non riesco a sistemare... qualcuno sa farlo?
(riuppo anche riguardo all'esercizio sui numeri complessi)
Thank You a tutti comunque
Ma no, ma quale cambio di variabile inverso? Scrivi tutto in termini di $x$ secondo il cambiamento di variabile che ti ho consigliato.
Per quanto riguarda il denominatore ho scritto:
che voleva farti notare che $e^(- 6/x)$ è un infinitesimo di ordine superiore rispetto ad $x^3$ (e anche ad $x^99999$, tanto per capirci). Quindi puoi fare così:
$ lim_(x -> 0^+) (sin (2x) - ln ( 1 + 2x ) - x^2 )/(x^3 ((sin ^3(x))/x^3 + e^(- 6/x)/x^3)) = lim_(x -> 0^+) (sin (2x) - ln ( 1 + 2x ) - x^2 )/(x^3) * 1/( ((sin ^3(x))/x^3 + e^(- 6/x)/x^3)$
Il secondo fattore ha limite $1$ per $x -> 0^+$. Quindi il limite di partenza è uguale al limite che segue:
$lim_(x -> 0^+) (sin (2x) - ln ( 1 + 2x ) - x^2 )/(x^3)$
Sviluppando con Taylor il numeratore il risultato è immediato.
Per quanto riguarda il denominatore ho scritto:
"Seneca":
Nota: Con qualche osservazione sul denominatore scopri che $e^(- 6/x)$ è trascurabile e che il denominatore è asintotico a $x^3$.
che voleva farti notare che $e^(- 6/x)$ è un infinitesimo di ordine superiore rispetto ad $x^3$ (e anche ad $x^99999$, tanto per capirci). Quindi puoi fare così:
$ lim_(x -> 0^+) (sin (2x) - ln ( 1 + 2x ) - x^2 )/(x^3 ((sin ^3(x))/x^3 + e^(- 6/x)/x^3)) = lim_(x -> 0^+) (sin (2x) - ln ( 1 + 2x ) - x^2 )/(x^3) * 1/( ((sin ^3(x))/x^3 + e^(- 6/x)/x^3)$
Il secondo fattore ha limite $1$ per $x -> 0^+$. Quindi il limite di partenza è uguale al limite che segue:
$lim_(x -> 0^+) (sin (2x) - ln ( 1 + 2x ) - x^2 )/(x^3)$
Sviluppando con Taylor il numeratore il risultato è immediato.
mi spiace sono io che non ci proprio arrivo 
ponendo il cambio come dici te, tanto è uguale, in fondo...:
$ lim_(x -> 0) ( x - x^3/6 - x +x^2 - x^3/6 -x^2 +x^4/24 + o(x^5))/(x^3) $
da quello che vedo, sviluppando, si cancella tutto, ma mi resta un x^4 sopra e un x^3 sotto. Devo dedurre che il limite fa 0?
(mi resta
$ lim_(x -> 0) (x^4/24 + o(x^5))/(x^3) $
)
Oppure, ti prego (a questo punto), mi completi l'esercizio?
Io, invece di ragionare come te (mettere in evidenza x^3) ho sviluppato direttamente il sen cubo (dato che lo sviluppo inizia proprio con x^3).
Il discorso è lo stesso, è che sopra mi rimane un x^4 e sotto un x^3, ergo il limite deve fare 0. Ma mi sembra strano, perchè di solito questi esecizi sono dati in modo che si semplifica tutto.
Grazie ancora
sono io che non ci proprio arrivo ponendo il cambio come dici te, tanto è uguale, in fondo...:
$ lim_(x -> 0) ( x - x^3/6 - x +x^2 - x^3/6 -x^2 +x^4/24 + o(x^5))/(x^3) $
da quello che vedo, sviluppando, si cancella tutto, ma mi resta un x^4 sopra e un x^3 sotto. Devo dedurre che il limite fa 0?
(mi resta
$ lim_(x -> 0) (x^4/24 + o(x^5))/(x^3) $
)
Oppure, ti prego (a questo punto), mi completi l'esercizio?
Io, invece di ragionare come te (mettere in evidenza x^3) ho sviluppato direttamente il sen cubo (dato che lo sviluppo inizia proprio con x^3).
Il discorso è lo stesso, è che sopra mi rimane un x^4 e sotto un x^3, ergo il limite deve fare 0. Ma mi sembra strano, perchè di solito questi esecizi sono dati in modo che si semplifica tutto.
Grazie ancora
"Bisneff":
Io, invece di ragionare come te (mettere in evidenza x^3) ho sviluppato direttamente il sen cubo (dato che lo sviluppo inizia proprio con x^3).
Il discorso è lo stesso, è che sopra mi rimane un x^4 e sotto un x^3
Certo che il discorso è lo stesso.
Comunque il tuo è un semplice errore di calcolo.
$sin(y) - ln ( 1 + y ) = [y - y^3/6 + o(y^3) ] - [ y - y^2/2 + y^3/3 + o(y^3) ]$
$sin(2x) - ln ( 1 + 2x ) - x^2 = [2x - 4 x^3/3 + o(x^3) ] - [ 2x - 2 x^2 + 8 x^3/3 + o(x^3) ] - x^2$
Si vede subito che il numeratore è un infinitesimo dello stesso ordine di $x^2$.
^^
Ok, mi spiace contraddirti, ma ho rifatto i calcoli e non torna come dici te
Poniamo
$x=2/n => n=2/x$
$ sin 2x = ( 2x - 4x^3/3 )
$ log (1+2x) = ( 2x + 2x^2 - 4x^3/3 +2x^4/3)
$ lim_(x -> 0) ( 2x - 4x^3/3 ) - ( 2x + 2x^2 - 4x^3/3 +2x^4/3) -x^2 + o(x^5))/(x^3) $
E quindi
sopra resta solo
$2x^4/3$
Il risultato quindi è 0 ???
Ok, mi spiace contraddirti, ma ho rifatto i calcoli e non torna come dici te
Poniamo
$x=2/n => n=2/x$
$ sin 2x = ( 2x - 4x^3/3 )
$ log (1+2x) = ( 2x + 2x^2 - 4x^3/3 +2x^4/3)
$ lim_(x -> 0) ( 2x - 4x^3/3 ) - ( 2x + 2x^2 - 4x^3/3 +2x^4/3) -x^2 + o(x^5))/(x^3) $
E quindi
sopra resta solo
$2x^4/3$
Il risultato quindi è 0 ???
"Bisneff":
$ log (1+2x) = ( 2x + 2x^2 - 4x^3/3 +2x^4/3) $
Dove lo hai trovato questo sviluppo tutto particolare?
$ log(1+ y ) = y - y^2/2 + y^3/3 + o(y^3)$
Sostituendo:
$ log(1+ 2x ) = 2x - 2 x^2 + 8 x^3/3 + o(x^3)$
No?
"Seneca":
[quote="Bisneff"]$ log (1+2x) = ( 2x + 2x^2 - 4x^3/3 +2x^4/3) $
Dove lo hai trovato questo sviluppo tutto particolare?
$ log(1+ y ) = y - y^2/2 + y^3/3 + o(y^3)$
Sostituendo:
$ log(1+ 2x ) = 2x - 2 x^2 + 8 x^3/3 + o(x^3)$
No?[/quote]
Già... Solo che io ci avevo messo il fattoriale sotto... quindi il terzo grado non si cancella... e si semplifica l'x^3...
ok grazie mille... invece per l'altro esercizio?
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