Aiuto con un limite Analisi I
Ciao a tutti, a breve avrò l'esame di analisi 1 e mi sono imbattuta in questo limite che non so proprio come risolvere di una prova d'esame passata. Ho visto in altre prove limiti simili, della stessa tipologia, mi potreste aiutare per favore?
$lim_(x->1)(cos((pi x)/2)^log(x))$
Ho trovato questo esercizio nella seconda prova in itinere, dove di solito ci sono limiti da risolvere con gli sviluppi di taylor, ma non so se è questo il caso, non mi viene proprio in mente come sfruttarli!
Grazie a tutti in anticipo
Ps:il logaritmo è in base e
$lim_(x->1)(cos((pi x)/2)^log(x))$
Ho trovato questo esercizio nella seconda prova in itinere, dove di solito ci sono limiti da risolvere con gli sviluppi di taylor, ma non so se è questo il caso, non mi viene proprio in mente come sfruttarli!
Grazie a tutti in anticipo
Ps:il logaritmo è in base e
Risposte
Basta sfruttare qualche regola 
\[ \cos { \frac{\pi}{2} x} = \cos \left (\frac{\pi}{2} - \left (\frac{\pi}{2} - \frac {\pi}{2} x \right ) \right )= \sin \left (\frac {\pi}{2} - \frac {\pi}{2}x \right )\]
Poniamo $ t = \frac {\pi}{2} - \frac {\pi}{2}x, \ t \to 0 $. Inoltre,
\[ x = 1 - \frac {2}{\pi} t \]
Quindi il limite che devi risolvere è
\[ \lim_{t \to 0} {\left (\sin {t} \right )^{\ln \left ( 1 - \frac {2}{\pi}t \right )}} \]
Sul quale non dovresti avere problemi.
\[ \cos { \frac{\pi}{2} x} = \cos \left (\frac{\pi}{2} - \left (\frac{\pi}{2} - \frac {\pi}{2} x \right ) \right )= \sin \left (\frac {\pi}{2} - \frac {\pi}{2}x \right )\]
Poniamo $ t = \frac {\pi}{2} - \frac {\pi}{2}x, \ t \to 0 $. Inoltre,
\[ x = 1 - \frac {2}{\pi} t \]
Quindi il limite che devi risolvere è
\[ \lim_{t \to 0} {\left (\sin {t} \right )^{\ln \left ( 1 - \frac {2}{\pi}t \right )}} \]
Sul quale non dovresti avere problemi.
Grande, grazie mille! E così mi è risultato 1! 
Esatto
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