Aiuto con un integrale trigonometrico?

[vitunurpo]

Ciao a tutti
Ho un po' di problema nel risolvere un integrale... mi aiutereste


Ecco l'integrale:

$ (d\sigma)/(d\Omega)=r_0^2/1(1+sin^2\theta) $
con poi $ (d\sigma)/(d\Omega)=r_0^2/1(1+cos^2\phi) $
dove $ \phi=\pi/2-\theta $

quindi $ int (d\sigmad\Omega)/(d\Omega)=int r_0^2/2(1+cos^2\phi)d\Omega $
$ \sigma=r_0^2/2int(1+cos^2\phi)d\Omega $

ho problemi a svolgere questo integrale... pensavo di procedere così (so che il risultato finale deve essere $ 8\pi/3 $ .

(ovviamente, ho dimenticato di dire che $ \dOmega $ è una sezione infinitesima di angolo solido.
Dunque:
$ r_0^2/2 int_(0)^(2\pi) d\phi int_(0)^(2\pi)(1+cos^2\phi)d\phi $
dal primo integrale ottengo un fattore $ 2\pi $ e il secondo integrale pensavo di svolgerlo così
$ int_(0)^(\pi)d\phi+int_(0)^(\pi)cos^2\phidphi $
dal primo ottengo un $ \pi $ e il secondo invece pensavo di svolgerlo così

$ int_(0)^(pi)cos^2\phid\phi=int_(0)^(\pi)cos\phi(1-sin^2\phi)d\phi $ poi apporto la sostituzione $ sin \phi=x $ e per il differenziale scrivo $ cos\phid\phi=dx $ quindi ottengo (ovviamente cambiando anche gli estremi di integrazione!)

$ int_(-1)^(1)(1-x^2)dx $ e quindi ottengo $ 4/3 $ ma mettendo insieme tutto, alla fine ho

$ (r_0^2*\pi^2*8)/3 $ che è sbagliato di un $ pi $
Molto probabilmente sto facendo un errore stupido.
Potreste aiutarmi?
Grazie

[vitunurpo]

Okay ho fatto una caterva di boiate.
mi aiutate?