Aiuto con un integrale
Ciao amici!
devo calcolare con i metodi dell'analisi complessa:
$I(a) = int_(0)^(1) dx (1 - x^2)^(1/2)/(x^2 - a^2)$ con $a>1$.
In sostanza ho operato così:
complessifico in $g(z) = ((z-1)(z+1))^(1/2)/(z^2 - a^2)$ (ndr: il cambio di segno è voluto), taglio le due radici in modo che gli argomenti di (z-1) e (z+1) siano in [0,2 Pi[. La cosa mi comporta un taglio sull'asse reale tra -1 e +1.
Integro su un 'osso di cane' orientato negativamente aderente il taglio sfruttando la parità della funzione iniziale.
Mi ritrovo una relazione del tipo: $4i I(a) = 2 pi i ( sum_(i) Res{g(z),z_i})$
Con i residui da calcolarsi in +a, -a ed infinito.
Ho controllato e ricontrollato i calcoli, fatto attenzione alla diramazione scelta etc etc: il mio risultato è $ I(a) = pi/2 (-1 + (1-1/a^2)^(1/2)) $, non mi tornano sti maledetti residui
Il risultato sparato da mathematica invece: $ I(a) = pi/2 (-1 - (1-1/a^2)^(1/2)) $.
Come risolvereste l'integrale? Cosa diavolo sbaglio?
In più, come muoversi quando c'è da calcolare i residui all'infinito di funzioni originalmente polidrome? L'inversione $ z -> 1/z $ mi sballa i tagli!
Un abbraccio ed un grazie a gugo in anticipo, gioco un caffè sul fatto che mi salverà come al solito
devo calcolare con i metodi dell'analisi complessa:
$I(a) = int_(0)^(1) dx (1 - x^2)^(1/2)/(x^2 - a^2)$ con $a>1$.
In sostanza ho operato così:
complessifico in $g(z) = ((z-1)(z+1))^(1/2)/(z^2 - a^2)$ (ndr: il cambio di segno è voluto), taglio le due radici in modo che gli argomenti di (z-1) e (z+1) siano in [0,2 Pi[. La cosa mi comporta un taglio sull'asse reale tra -1 e +1.
Integro su un 'osso di cane' orientato negativamente aderente il taglio sfruttando la parità della funzione iniziale.
Mi ritrovo una relazione del tipo: $4i I(a) = 2 pi i ( sum_(i) Res{g(z),z_i})$
Con i residui da calcolarsi in +a, -a ed infinito.
Ho controllato e ricontrollato i calcoli, fatto attenzione alla diramazione scelta etc etc: il mio risultato è $ I(a) = pi/2 (-1 + (1-1/a^2)^(1/2)) $, non mi tornano sti maledetti residui
Il risultato sparato da mathematica invece: $ I(a) = pi/2 (-1 - (1-1/a^2)^(1/2)) $.
Come risolvereste l'integrale? Cosa diavolo sbaglio?
In più, come muoversi quando c'è da calcolare i residui all'infinito di funzioni originalmente polidrome? L'inversione $ z -> 1/z $ mi sballa i tagli!
Un abbraccio ed un grazie a gugo in anticipo, gioco un caffè sul fatto che mi salverà come al solito
Risposte
Ragazzi qualcuno riesce a darmi una mano? basterebbe anche il risultato, mathematica mi pare comportarsi un po' stranamente.
un abbraccio
un abbraccio
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