Aiuto con un esercizio sulle forme differenziali

[marthy_92]

Ciao a tutti ! Ho dei problemi a risolvere questo esercizio.

Sia A = ( ( x,y) € R2: x >0 ). Determinare una funzione F € C1 (A) tale che la forma diff.le

$ W (x,y ) = F (x,y) dx + e^(xy)sinx dy $

sia esatta in A e che risulti $ F(x,0) = 0 per ogni x > 0 $
Scrivere una primitiva della forma così ottenuta.

I coefficienti della forma sono
$F (x,y )$ e $ G (x,y) = e^(xy)sinx $.
Prima ho posto le condizioni per l'esattezza della forma

\( \frac{\partial^{}F}{\partial y} = \frac{\partial^{}G}{\partial x} \)

\( \frac{\partial^{}G}{\partial x} = e^(xy)(ysinx+cosx) \)

Quindi ho che \( \frac{\partial^{}F}{\partial y} = e^(xy)(ysinx+cosx) \)

A questo punto per trovare la $ F $ credo proprio di dover risolvere questo integrale
\( \int_{}^{} e^(xy)(ysinx+cosx)\, dy \)

\( \int_{}^{} e^(xy)(ysinx+cosx)\, dy = sinx \int_{}^{}e^(xy)y \,dy + \int_{}^{}cosxe^(xy) \,dy \)

A questo punto mi sono bloccata, non riesco ad andare avanti da quell'espressione
Soprattutto con \( \int_{}^{}e^(xy)y \,dy \)

E' corretto quello che ho fatto in precedenza? Mi aiutate a trovare la funzione F ? Grazie a chiunque risponda

[marthy_92]

Ok grazie Tem però ancora non ho risolto tutto. Perchè..
Integrando per parti $ yx e^ (xy) $ ottengo.. e^(xy) ( y- 1/x)
Quindi alla fine ho che

$ F(x,y) = (cosx/x) e^(xy) + (sinx/x) e^(xy) (y -1/x) $ con un 'oppurtuna costante che andrò a determinare

Però ho notato che derivando questa funzione rispetto a y non ottengo \( ( \frac{\partial^{}G}{\partial x}= (e^(xy)(ysinx + cosx) ) \)
ma bensì \( ( \frac{\partial^{}G}{\partial x}= (e^(xy)x(ysinx + cosx) ) \)

Perchè a me viene una x in più ?